Question

ثابت کنید یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها اگر زیر دنباله با اندیس فرد و زیردنباله با اندیس زوج آن همگرا به مقداری یکسان باشند

Answer 1

اگر دنباله $u_n$ همگرا به $l$ باشه آنگاه هر زیر دنباله آن به $l$همگراست پس برای زیر دنباله با اندیس فرد و زیردنباله با اندیس زوج آن هم بر قرار است. برای عکس آن از تعریف همگرایی استفاده می کنیم

$$\forall \;\epsilon >0\; \exists \; n_1,n_2 \quad s. t. for \; n>n_1\;, \;n>n_2\; \mid u_{2n_1}-l\mid < \epsilon \;\& \; \; \mid u_{2n_2-1}-l\mid < \epsilon$$ با فرض $n_0=max { 2n_1,2n_2-1 }$ داریم $$n>n_0 \to\;\mid u_n-l\mid < \epsilon$$ بنابراین دنباله همگراست.