سلام.
فرض کنید $a_{2n}$ به $x$ و $a_{2n+1}$ به $y$ و $a_{3n}$ به $z$ همگرا باشد.حالا دنباله $a_{6n}$ و $a_{6n+3}$ را در نظر بگیرید:
$6n=2(3n)=3(2n),3n,2n \uparrow $
$6n+3=2(3n+1)+1=3(2n+1),3n+1,2n+1 \uparrow $
($ \uparrow $ به معنی صعودی بودن است)
پس $a_{6n}$ هم زیر دنباله $a_{3n}$ است و هم زیر دنباله $a_{2n}$ است و $a_{6n+3}$ هم زیردنباله $a_{3n}$ است و هم $a_{2n+1}$ پس $a_{6n}$ هم به $z$ همگراست و هم به $x$ و دنباله $a_{6n+3}$ هم به $z$ همگراست و هم به $y$ پس بنابه اینکه حد هر زیر دنباله همان حد دنباله اصلی است و یکتایی حد در اعداد حقیقی باید $z=x$ و $z=y$ .
بنابراین $x=y$ یعنی در یک دنباله حد جملات زوج و حد جملات فرد به عددی مانند $x$ همگراست.حالا اثبات همگرایی خود دنباله:
$ \lim_{n\to \infty b} a_{2n}=x \Rightarrow \exists N_1: \forall n>N_1 ( | a_{2n}-x | < \frac{ \epsilon }{2} )$
$ \lim_{n\to \infty } a_{2n+1}=x \Rightarrow \exists N_2: \forall n>N_2( | a_{2n+1}-y | < \frac{ \varepsilon }{2} )$
حالا اگر قرار دهید $N=max \{N_1,N_2\} $ و با توجه به اینکه هر $n$ یا به صورت $2k$ است یا به صورت $2k+1$ در هر حالت داریم برای هر $n$ که $n>2N+1$ داریم:
$if: n=2k\Rightarrow 2k>2N+1>2N \Rightarrow k>N>N_1 \Rightarrow | a_n-x | < \varepsilon $
$if :n=2k+1 \Rightarrow2k+1>2N+1 \Rightarrow k>N>N_2 \Rightarrow | a_n-x | < \varepsilon $
و این یعنی:
$ \lim_{n\to \infty } a_{n} =x$
$ \Box $
