سری $\sqrt(3n^p+1)-\sqrt(3n^p-3)$ به ازای چه مقادیری از $p$ همگرا میشود؟

Question

با سلام سوال میگوید که به ازای چه مقادیری از p سری زیر همگرا میشود: $\sum_1^∞ \sqrt{3n^p + 1} - \sqrt{3n^p - 3}$ من در مزدوج ضرب کردم و به رابطه زیر رسیدم $\sum_1^∞ \frac{4}{ \sqrt{3n^p + 1} + \sqrt{3n^p - 3}}$ بعد هم مخرج را با تبدیل $\sqrt{3n^p + 1}$ به $\sqrt{3n^p - 3}$ کوچک کردم و به رابطه زیر رسیدم: $\sum_1^∞ \frac{2}{ \sqrt{3} \sqrt{n^p - 1} }$ $<$ $\sum_1^∞ \frac{4}{ \sqrt{3n^p + 1} + \sqrt{3n^p - 3}}$ از اینجا به بعد راه دیگری به ذهنم نمیرسد راه حل مناسب چگونه است؟ با تشکر

Answer 1

پس با تلاس خودتان می‌دانید که $$\sum_{n=1}^\infty(\sqrt{3n^p+1}-\sqrt{3n^p-3})=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{\sqrt{3n^p+1}+\sqrt{3n^p-3}}$$ اکنون تعریف کنید $$a_n=\frac{2}{\sqrt{3n^p+1}+\sqrt{3n^p-3}}$$ داریم $$\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{1}{n^{\frac{p}{2}}}< \frac{2}{\sqrt{3n^p+1}}< a_n< \frac{2}{\sqrt{3n^p-3}}=\frac{2}{\sqrt{3(n^p-1)}}< \frac{2}{\sqrt{3}}\frac{1}{(n-1)^{\frac{p}{2}}}$$ توجه کنید که همگراییِ دو سری آغاز و پایان نابرابری بالا هم‌ارز با همگرایی سری زیر است زیرا ضرب یک عدد در جمله‌های سری یا حذف یک جمله از ابتدای سری تغییری در وضعیت همگرا-واگرایی آن ایجاد نمی‌کند. $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\frac{p}{2}}}$$ اگر قضیهٔ همگرایی $p$ -سری‌ها یادتان مانده‌باشد، این سری همگراست اگر و تنها اگر $\frac{p}{2}>1$ که در نتیجه باید $n>2$. اکنون اگر این شرط برقرار باشد، چون سریِ اصلی‌تان بین دو سری همگرا ساندویچ شد و تمامی جملاتش مثبت هستند، پس همگرا می‌شود. اما اگر این شرط برقرار نباشد آنگاه چون سری آغازی واگرا می‌شود و سری اصلیِ شما از این سریِ واگرا به مثبت بینهایت بزرگتر شد، پس آن هم واگرا به مثبت بینهایت است. در نتیجه این شرط همگرایی سری شما را به صورت اگر و تنها اگر تعیین می‌کند.