سلام.
فرض کنید a_{2n} به x و a_{2n+1} به y و a_{3n} به z همگرا باشد.حالا دنباله a_{6n} و a_{6n+3} را در نظر بگیرید:
6n=2(3n)=3(2n),3n,2n \uparrow
6n+3=2(3n+1)+1=3(2n+1),3n+1,2n+1 \uparrow
( \uparrow به معنی صعودی بودن است)
پس a_{6n} هم زیر دنباله a_{3n} است و هم زیر دنباله a_{2n} است و a_{6n+3} هم زیردنباله a_{3n} است و هم a_{2n+1} پس a_{6n} هم به z همگراست و هم به x و دنباله a_{6n+3} هم به z همگراست و هم به y پس بنابه اینکه حد هر زیر دنباله همان حد دنباله اصلی است و یکتایی حد در اعداد حقیقی باید z=x و z=y .
بنابراین x=y یعنی در یک دنباله حد جملات زوج و حد جملات فرد به عددی مانند x همگراست.حالا اثبات همگرایی خود دنباله:
\lim_{n\to \infty b} a_{2n}=x \Rightarrow \exists N_1: \forall n>N_1 ( | a_{2n}-x | < \frac{ \epsilon }{2} )
\lim_{n\to \infty } a_{2n+1}=x \Rightarrow \exists N_2: \forall n>N_2( | a_{2n+1}-y | < \frac{ \varepsilon }{2} )
حالا اگر قرار دهید N=max {N_1,N_2} و با توجه به اینکه هر n یا به صورت 2k است یا به صورت 2k+1 در هر حالت داریم برای هر n که n>2N+1 داریم:
if: n=2k\Rightarrow 2k>2N+1>2N \Rightarrow k>N>N_1 \Rightarrow | a_n-x | < \varepsilon
if :n=2k+1 \Rightarrow2k+1>2N+1 \Rightarrow k>N>N_2 \Rightarrow | a_n-x | < \varepsilon
و این یعنی:
\lim_{n\to \infty } a_{n} =x
\Box
