Question

-ثابت کنید شرط لازم و کافی برای آن که هر زیرمجموعه فضای متریک (X,d) باز باشد آن است که هر دنباله همگرا در X از مرتبه ای به بعد ثابت باشد.

Comments

@nkar زمانی‌که هر زیرمجموعه‌ای باز باشد، فضای‌تان گسسته می‌شود. از این استفاده کنید.

Answer 1

فرض کنید هر زیرمجموعه فضای متریک $(M,d)$ باز باشد. اگر دنباله ای همگرا در این فضا داشته باشید مانند $x_n \to x_0$. آنگاه چون $\lbrace x_0\rbrace $ باز است پس از یک $n$ به بعد، $x_n$ در این مجموعه می افتد. این یعنی از $n$-ای به بعد $x_n=x_0$.

برعکس فرض کنید هر دنباله همگرا از $n$-ای به بعد، ثابت باشد. اگر $x_0\in M$ و هر کدام از گویهای باز $B(x_0,\frac{1}{n})$ نامتناهی باشند. در این صورت یک دنباله از عناصر متمایز همگرابه $x_0$ موجود که تناقض است. بنابراین یک $n_0$ موجود است که گوی باز $B(x_0,\frac{1}{n_0})$ متناهی عضو دارد. بنابراین یک $r_0$ موجود است طوری که $B(x_0,r_0)=\lbrace x_0\rbrace$ و این یعنی $\lbrace x_0\rbrace $ باز است