فرض کنید هر زیرمجموعه فضای متریک
$(M,d)$
باز باشد.
اگر دنباله ای همگرا در این فضا داشته باشید مانند
$x_n \to x_0$.
آنگاه چون
$\lbrace x_0\rbrace $
باز است پس از یک $n$ به بعد،
$x_n$
در این مجموعه می افتد. این یعنی از $n$-ای به بعد
$x_n=x_0$.
برعکس فرض کنید هر دنباله همگرا از $n$-ای به بعد، ثابت باشد. اگر
$x_0\in M$
و هر کدام از گویهای باز
$B(x_0,\frac{1}{n})$
نامتناهی باشند. در این صورت یک دنباله از عناصر متمایز همگرابه $x_0$ موجود که تناقض است. بنابراین یک $n_0$ موجود است که گوی باز
$B(x_0,\frac{1}{n_0})$
متناهی عضو دارد. بنابراین یک $r_0$ موجود است طوری که
$B(x_0,r_0)=\lbrace x_0\rbrace$ و این یعنی
$\lbrace x_0\rbrace $
باز است
