فضای متریک $(X,d)$ ناهمبند است اگر و تنها اگر نگاشت پیوسته و پوشای $f\colon X\to\lbrace 0,1\rbrace$ وجود داشته باشد.

Question

نشان دهید فضای متریک $(X,d)$ ناهمبند است اگر و تنها اگر نگاشت پیوسته و پوشای $f\colon X\to\lbrace 0,1\rbrace$ وجود داشته باشد.

Answer 1

در ابتدا توجه کنید که هر متری روی مجموعه دو عضوی $\{0,1\}$ با متر گسسته معادل است. پس متر روی این مجموعه را متر گسسته در نظر می‌گیریم.

فرض کنید $X$ ناهمبند باشد. در اینصورت مجموعه‌ای ناتهی و سره از $X$ مثل $A$ موجود است که هم بسته است و هم باز. تابع $f(x)=\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases}$ از $X$ به ${0,1}$ پوشا (از زیرمجموعه سره بودن) و پیوسته است (چرا؟ کافی است تصویر زیرمجموعه‌های باز در ${0,1}$ را تحت این تابع پیدا کنید و ببینید که در $X$ باز است).

بر عکس فرض کنید تابعی پیوسته و پوشا مثل $f\colon X\to\lbrace 0,1\rbrace$ موجود باشد. در اینصورت $A=f^{-1}({0})$ و $B=f^{-1}({1})$ در $X$ ناتهی (از پوشا بودن) و بسته (از پیوستگی) هستند و $A\cap B=\emptyset$ پس تشکیل یک ناهمبندی برای $X$ می‌دهند.