به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
76 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Navid_yar (51 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

برای اثباتِ $p(n)$ با اسقرای ریاضی ما اول گزاره را برای $p(1)$ ثابت می‌کنیم بعد قرار می‌دهیم $n=k$ و فرض می‌کنیم $p(k)$ صحیح باشد. حال از درست‌بودنِ $p(k)$، اثبات می‌کنیم که $(p(k+1$ نیز صحیح است. یعنی نشان می‌دهیم که به ازای عدد بعد از $k$ نیز گزاره صحیح است.

برایم دو سوأل پیش آمده‌است.

  1. لزوم مرحلهٔ اول و قرار دادن $n=1$ چیست؟
  2. چطور فرض می‌کنیم $p(k)$ صحیح است درحالی که ممکن است صحیح نباشد؟ پارامتر $k$ دقیقا چیست؟

من تا جایی که توانستم درک کنم چون گفتیم «اگر $p(k)$ صحیح باشد پس $p(k+1)$ هم صحیح هست» و چون درحالت $n=1$ صحیح است، پس گزاره برای بعدی آن نیز یعنی $n=2$ نیز صحیح هست. لذا به صورت زنجیری برای همهٔ اعداد طبیعی گزاره صحیح خواهد بود. آیا درک در‌ستی دارم؟

سوال آخر اینکه آیا با استقرای ریاضی، نادر‌ستی یک گزاره را می‌شود نشان داد؟

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
@Navid_yar به ویرایشی که بر روی متن‌تان انجام دادم نگاه کنید. در زیر پست‌ها مربعی با یک مداد در داخلش است که اگر بر روی آن کلیک کنید می‌توانید پست‌تان را ویرایش کنید. پس از ارسال پرسش، یک بار متنی که فرستادید را بخوانید و جمله‌ها، فعل‌ها یا اشتباه‌های املایی را رفع کنید. مانند «گذاره، سئول،...». هر چقدر پرسش را بهتر بنویسید، احتمال پاسخ‌گرفتن یا پاسخ بهتر گرفتن را بالاتر می‌برید.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

بلی، درک‌تان درست است. برای پرسش آخرتان باید دقیق‌تر باشید. آیا گزاره‌ای که مد نظرتان است به شکل دنباله‌ای از گزاره‌ها است؟ اگر خیر، پس کاری به استقرای ریاضی نداریم.

اگر بلی، بیایید دوباره با نمادگذاری خودتان آن را با $p(n)$ نمایش دهید. اکنون منظورتان از جملهٔ «نادرستی یک گزاره را نشان دهیم» یعنی اینکه برای هر $n$ نادرست بودنِ $p(n)$ را نشان دهیم، یا نادرست بودنِ «برای هر $n$، $p(n)$ برقرار است» را نشان دهیم؟

برای روشن‌تر شدن فرق این دو مورد، بیایید با نمادهای ریاضی آنها را بنویسیم.

$$\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F$$

که منظور از $\forall$ و $\equiv$ و $T$ و $F$ به ترتیب یعنی «به ازای هر» و «هم‌ارز است با» و «درست» و «نادرست». در بالا مورد یکُم را نشان دادیم. اگر

$$p(1)\equiv F$$

و

$$p(k)\equiv F\Longrightarrow p(k+1)\equiv F$$

را می‌توانید نشان دهید، آنگاه به همان دلیلی که در متن پرسش‌تان خودتان توضیح دادید با استقرای ریاضی حکمی که می‌خواهید را می‌توانید ثابت کنید. پس پاسخ‌ به پرسش‌تان مثبت است.

اگر می‌خواهید برای اثبات اینکه برای این مورد نیز می‌توانید از استقرای ریاضی استفاده کنید، از نوشتن توضیحی که در متن پرسش نوشته‌اید اجتناب کنید و با فرض قبول داشتن استقرا برای اثبات‌های به شکلِ $p(n)\equiv T$، حق استفادهٔ استقرا برای اثبات‌های به شکل $p(n)\equiv F$ را اثبات کنید. کافی است توجه کنید که

$$\Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F\Big)\equiv \Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;\big(\sim p(n)\big)\equiv T\Big)$$

پس یعنی با یک جایگذاریِ $\sim p(n)$ به جای $p(n)$ که $\sim$ یعنی نقیضِ گزاره‌تان است، ادعایتان ثابت می‌شود. برای نمونه اگر $p(n)$ این است که «روزِ $n$اُم بارانی است»، نقیض آن «روز $n$اُم بارانی نیست» می‌شود.

اما مورد دوم چیست؟ مورد دوم این است که جملهٔ شما را اینگونه تعبیر کنیم که منظورتان از یک گزاره، تک‌تک $p(n)$ها نبوده، بلکه کل گزارهٔ «برای هر $n$، $p(n)$» بوده که یک گزاره نیز می‌توان در نظر گرفت. نادرست بودن آن یعنی

\begin{align} & \Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv T\Big)\equiv F\\ & \Longrightarrow\;\sim\Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv T\Big)\equiv T\\ & \Longrightarrow \exists n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F \end{align}

نماد $\exists$ یعنی «دست‌کم یک مورد وجود دارد». چه زمانی جملهٔ «هر روز بارانی است» نادرست است؟ زمانی که حداقل یک روز پیدا شود که بارانی نباشد. این با گفتن اینکه «هر روز بارانی نیست» یکسان نیست. ممکن است برخی روزها بارانی باشند و برخی روزها بارانی نباشند. پس اگر منظورتان این مورد بوده‌است، آنگاه شما با استقرا سر و کار ندارید و علتی ندارد که از گامی به گام دیگر بتوانید بروید (از بارانی نبودن امروز، الزاما بارانی نبودن فردا نتیجه نمی‌شود). در این حالت شما به دنبال مثال نقض می‌گردید.

پس نتیجه‌گیری آخر: برای $\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F$ می‌توانید از استقرا کمک بگیرید ولی برای $\Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv T\Big)\equiv F$ از مثال نقض استفاده می‌کنید.


با توجه به توضیحی که خودتان در متن پرسش دادید الزام گام پایه را می‌دانید ولی صرفا برای کاربرهای دیگری که بعدها با جستجو در اینترنت به این صفحه می‌آیند مثال زیر که یک مورد نتیجه‌گیری نادرست از استقرای بدون گام پایه است را می‌آورم. گزاره «هر عدد فرد، عددی زوج نیز است». مشخص است که این گزاره نادرست است. ولی به برهان زیر توجه کنید.

یک عدد فرد را می‌توان به شکل $2n-1$ که $n$ عددی طبیعی است نمایش داد. مرحلهٔ گام نخست برای استقرای ریاضی را برای لحظه‌ای کنار بگذارید. فرض کنید گزارهٔ $p(k)$ این باشد که $k$اُمین عدد فرد که به شکل $2k-1$ است، عددی زوج است. می‌خواهیم با فرض کردن درستی $p(k)$، درست بودن $p(k+1)$ را نتیجه بگیریم. اگر $k$اُمین عدد فرد، عددی زوج باشد پس به شکل $2\ell$ نوشته می‌شود که $\ell$ عددی طبیعی است. اکنون مگر $k+1$اُمین عدد فرد برابر با جمع عدد فرد پیشین با ۲ نیست؟ پس عدد فرد جدید برابر است با $2\ell+2=2(\ell+1)$ که ۲ آن را می‌شمارد چون طبیعی بودنِ $\ell$، طبیعی بودنِ $\ell+1$ را نتیجه می‌دهد و عدد فرد جدید به شکل $2(\ell+1)$ نوشته شد.

پس مرحلهٔ $p(k)\Longrightarrow p(k+1)$ برای «هر عدد فردی، عددی زوج است» انجام‌شدنی است. اما آیا ما واقعا با استقرای ریاضی این گزارهٔ نادرست را اثبات کردیم؟ خیر. چون فقط گفته‌ایم اگر برای گامی درست باشد، برای گام پسینش نیز درست است. اما آیا اصلا گامی که درست باشد وجود دارد که حالا بقیه بخواهند یکی یکی از آن نتیجه شوند؟ خیر. پس همانطور که خودتان گفتید گام پایهٔ استقرا جزو الزامی‌ای از استقرا است و بدون آن استقرا ارزشی ندارد.

0 امتیاز
توسط mort (197 امتیاز)

سلام

به گزاره های زیر توجه کنید: 1 - همه پرندگان بال دارند. 2- کبوتر پرنده است 3- کبوتر بال دارد.

گزاره سوم نتیجه بدیهی و منطقی از گزاره های 1 و 2 است. اصل اسقراء نیز مشابه روند بالا عمل می کند.

اصل استقراء ریاضی برای اعداد طبیعی کاربرد دارد و یکی از خواص مهم آن است. حال به گزاره های زیر توجه کنید:

1- ثابت کنید عبارت برای عدد 1 یا a که a عددی طبیعی است درست است.

2- فرض کنید (لازم به اثبات نیست) عبارت برای عددی طبیعی نظیر k درست است.

3- با استفاده از نتیجه فرض گزاره دوم، ثابت می کنیم برای k+1 نیز درست است. (گاهی به ثمر رساندن این خواسته، بسیار دشوار خواهد بود.)

4- ثابت کردیم برای 1 درست است و نیز اگر برای k درست باشد برای k+1 نیز درست است پس برای 1+1 یعنی 2 نیز درست است. برای 2 درست است پس برای 2+1 نیز درست است. برای 3 درست است پس برای 3+1 نیز درست است و ... (برای a درست است پس برای a+1 نیز درست خواهد بود، اگر برای a+1 درست باشد آنگاه برای a+2 نیز درست خواهد بود و ...)

آیا میتوانید نامساوی برنولی را توسط اصل استقراء به اثبات برسانید؟

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
@mort کماکان به دیدگاه‌های پیشینی که برایتان گذاشتم بی‌توجهی کنید. اینجا هم یک دیدگاه جدید باید برایتان بگذارم که شاید مانند دیدگاه‌های پیشین توجهی به آن نکنید.
پرسشِ پرسش‌کننده پیرامون علت وجود بند ۱ در استقرای ریاضی است نه اینکه تعریف استقرای ریاضی چیست.
توسط mort (197 امتیاز)
–1
سلام دوست خوب من @AmirHosein
برای اینکه بدانید "چرا" ابتدا باید بدانید "چیست" یا بهتر بگویم اگر بدانید استقراء در ریاضی "چیست" آنگاه پی خواهید برد "چرا" از گزاره 1 استفاده شده است.
دلیل استفاده گزاره 1 یعنی « ثابت کنید عبارت برای عدد 1 یا a که a عددی طبیعی است درست است » به خوبی در تعریف چیستی استقراء مشخص شده است. به گزاره 4 دقت کنید:
« ثابت کردیم برای 1 درست است (گزاره 1) و نیز اگر برای k درست باشد برای k+1 نیز درست است (گزاره 3 که خود نتیجه ای از گزاره 2 است) پس برای 1+1 یعنی 2 نیز درست است (نتیجه گزاره 1 و 3) »
حال دانستید که گزاره 4 ام در واقع نتیجه گزاره های 1 تا 3 است و تشریح کاملی از گزاره های پیشین را در خود جای داده است و اگر صبر پیشه می کردید و تا گزاره 4 اُم پیش می رفتید تمام قطعات پازل به هم متصل می شدند آنگاه می گفتید "آهان! پس گزاره 1 آمده است تا بتوانیم نتایج گزاره 4 ام را از آن برداشت کنیم!"
مرسی از توجهت دوست عزیز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
@mort دوباره مانند مرتبه‌های پیشین. خیلی جمله‌های شما اتصال منطقی ندارند. پاسخ به قسمت نخست پرسش پرسش‌کننده، همان چیزی است که خودشان در متن پرسش گفته‌اند و شما عملا چیزی بیشتر در پاسخ‌تان نیاورده‌اید. نکته همان پاراگرافی است که خود پرسش‌کننده پیش از «سوال آخر» آورده‌اند.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...