بلی، درک‌تان درست است. برای پرسش آخرتان باید دقیق‌تر باشید. آیا گزاره‌ای که مد نظرتان است به شکل دنباله‌ای از گزاره‌ها است؟ اگر خیر، پس کاری به استقرای ریاضی نداریم.
اگر بلی، بیایید دوباره با نمادگذاری خودتان آن را با p(n) نمایش دهید. اکنون منظورتان از جملهٔ «نادرستی یک گزاره را نشان دهیم» یعنی اینکه برای هر n نادرست بودنِ p(n) را نشان دهیم، یا نادرست بودنِ «برای هر n، p(n) برقرار است» را نشان دهیم؟
برای روشن‌تر شدن فرق این دو مورد، بیایید با نمادهای ریاضی آنها را بنویسیم.
\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F
که منظور از \forall و \equiv و T و F به ترتیب یعنی «به ازای هر» و «هم‌ارز است با» و «درست» و «نادرست». در بالا مورد یکُم را نشان دادیم. اگر
p(1)\equiv F
و
p(k)\equiv F\Longrightarrow p(k+1)\equiv F
را می‌توانید نشان دهید، آنگاه به همان دلیلی که در متن پرسش‌تان خودتان توضیح دادید با استقرای ریاضی حکمی که می‌خواهید را می‌توانید ثابت کنید. پس پاسخ به پرسش‌تان مثبت است.
اگر می‌خواهید برای اثبات اینکه برای این مورد نیز می‌توانید از استقرای ریاضی استفاده کنید، از نوشتن توضیحی که در متن پرسش نوشته‌اید اجتناب کنید و با فرض قبول داشتن استقرا برای اثبات‌های به شکلِ p(n)\equiv T، حق استفادهٔ استقرا برای اثبات‌های به شکل p(n)\equiv F را اثبات کنید. کافی است توجه کنید که
\Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F\Big)\equiv \Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;\big(\sim p(n)\big)\equiv T\Big)
پس یعنی با یک جایگذاریِ \sim p(n) به جای p(n) که \sim یعنی نقیضِ گزاره‌تان است، ادعایتان ثابت می‌شود. برای نمونه اگر p(n) این است که «روزِ nاُم بارانی است»، نقیض آن «روز nاُم بارانی نیست» می‌شود.
اما مورد دوم چیست؟ مورد دوم این است که جملهٔ شما را اینگونه تعبیر کنیم که منظورتان از یک گزاره، تک‌تک p(n)ها نبوده، بلکه کل گزارهٔ «برای هر n، p(n)» بوده که یک گزاره نیز می‌توان در نظر گرفت. نادرست بودن آن یعنی
\begin{align}
& \Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv T\Big)\equiv F\\
& \Longrightarrow\;\sim\Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv T\Big)\equiv T\\
& \Longrightarrow \exists n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F
\end{align}
نماد \exists یعنی «دست‌کم یک مورد وجود دارد». چه زمانی جملهٔ «هر روز بارانی است» نادرست است؟ زمانی که حداقل یک روز پیدا شود که بارانی نباشد. این با گفتن اینکه «هر روز بارانی نیست» یکسان نیست. ممکن است برخی روزها بارانی باشند و برخی روزها بارانی نباشند. پس اگر منظورتان این مورد بوده‌است، آنگاه شما با استقرا سر و کار ندارید و علتی ندارد که از گامی به گام دیگر بتوانید بروید (از بارانی نبودن امروز، الزاما بارانی نبودن فردا نتیجه نمی‌شود). در این حالت شما به دنبال مثال نقض می‌گردید.
پس نتیجه‌گیری آخر: برای \forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv F می‌توانید از استقرا کمک بگیرید ولی برای \Big(\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;p(n)\equiv T\Big)\equiv F از مثال نقض استفاده می‌کنید.
با توجه به توضیحی که خودتان در متن پرسش دادید الزام گام پایه را می‌دانید ولی صرفا برای کاربرهای دیگری که بعدها با جستجو در اینترنت به این صفحه می‌آیند مثال زیر که یک مورد نتیجه‌گیری نادرست از استقرای بدون گام پایه است را می‌آورم. گزاره «هر عدد فرد، عددی زوج نیز است». مشخص است که این گزاره نادرست است. ولی به برهان زیر توجه کنید.
یک عدد فرد را می‌توان به شکل 2n-1 که n عددی طبیعی است نمایش داد. مرحلهٔ گام نخست برای استقرای ریاضی را برای لحظه‌ای کنار بگذارید. فرض کنید گزارهٔ p(k) این باشد که kاُمین عدد فرد که به شکل 2k-1 است، عددی زوج است. می‌خواهیم با فرض کردن درستی p(k)، درست بودن p(k+1) را نتیجه بگیریم. اگر kاُمین عدد فرد، عددی زوج باشد پس به شکل 2\ell نوشته می‌شود که \ell عددی طبیعی است. اکنون مگر k+1اُمین عدد فرد برابر با جمع عدد فرد پیشین با ۲ نیست؟ پس عدد فرد جدید برابر است با 2\ell+2=2(\ell+1) که ۲ آن را می‌شمارد چون طبیعی بودنِ \ell، طبیعی بودنِ \ell+1 را نتیجه می‌دهد و عدد فرد جدید به شکل 2(\ell+1) نوشته شد.
پس مرحلهٔ p(k)\Longrightarrow p(k+1) برای «هر عدد فردی، عددی زوج است» انجام‌شدنی است. اما آیا ما واقعا با استقرای ریاضی این گزارهٔ نادرست را اثبات کردیم؟ خیر. چون فقط گفته‌ایم اگر برای گامی درست باشد، برای گام پسینش نیز درست است. اما آیا اصلا گامی که درست باشد وجود دارد که حالا بقیه بخواهند یکی یکی از آن نتیجه شوند؟ خیر. پس همانطور که خودتان گفتید گام پایهٔ استقرا جزو الزامی‌ای از استقرا است و بدون آن استقرا ارزشی ندارد.
