گزارهٔ اگر $4k+1$ مربع کامل باشد، آنگاه $k$ ضرب دو عدد صحیح متوالی است را اثبات یا با آوردن مثال نقض رد کنید

Question

اگر $4k+1$ مربع کامل باشد، آنگاه $k$ ضرب دو عدد صحیح متوالی است.

در کتاب ریاضیات گسستهٔ پایهٔ دوازدهم هم هست، ولی عکس این قضیه هست.

Answer 1

گزاره درست است .‌

اثبات : فرض کنید $4k+1$ مربع کامل است . پس عدد صحیح $m$ وجود دارد که $4k+1=m^{2}$ . چون $4k+1$ عدد فرد است پس $m$ نیز عددی فرد است بنابراین عدد صحیح $n$ وجود دارد که $m=2n+1$ . پس $4k+1=(2n+1)^{2}$ . بنابراین $4k+1=4n^{2}+4n+1$ . در نتیجه $k=n^{2}+n$ پس $k=n(n+1)$ . بنابراین $k$ حاصل ضرب دو عدد صحیح متوالی است .

Comments

بگذارید عکس قضیه را نیز اثبات کنیم تا یاد گیری کامل شود.اگر$n$یک عدد طبیعی باشد داریم$n(n+1)=n^2+n$
دو طرف را در $4$ضرب می کنیم و با$1$جمع می کنیم.یعنی$$4n^2+4n+1$$ که برابر$(2n+1)^2$است.دقت دارید که$4n+1$فرد است و$2n+1$نیز فرد است. یعنی مربع یک عدد فرد عددی فرد است.