Question

ثابت کنید که حاصل‌ضرب $n$ عدد صحیح متوالی بر $n!$ بخش‌پذیر است. برای مثال حاصل‌ضرب ۳ عدد صحیح متوالی بر $3!$ بخش پذیر است ($n \in \mathbb{Z}$).

Answer 1

به نام خدا.

می‌توانیم $n$ عدد صحیح متوالی را به شکل زیر بنویسیم:

$$\large(k+1)(k+2)(k+3)\cdots(k+n)$$

بنابراین باید ثابت کنیم $ \large\frac{(k+1)(k+2)(k+3)\cdots(k+n)}{n!} $ عددی صحیح است. برای اثبات صحیح بودن این کسر، صورت و مخرج کسر را را در $k!$ ضرب می‌کنیم. در این صورت داریم :

$$ \frac{(k+1)(k+2)(k+3)\cdots(k+n)}{k!} = \frac{k!(k+1)(k+2)(k+3)\cdots(k+n)}{k!\cdot n!} = \frac{(k+n)!}{k!\cdot n!} = \binom{n+k}{k} $$

که این ترکیب $k$ شیء از $n+k$ شیء می‌باشد که این یک عدد صحیح است. البته با استقرای ریاضی ثابت می‌شود که ترکیب و جایگشت همیشه عدد صحیح است.