ثابت کنید که حاصل ضرب هر سه عدد متوالی طبیعی، بر ۶ بخش پذیر است

Question

حاصل‌ضرب هر سه عدد متوالی طبیعی، بر ۶ بخش‌پذیر است. به عبارت دیگر اگر $n\in\mathbb{N}$، آنگاه:

$$6 \mid n(n+1)(n+2)$$

این موضوع را چگونه می‌توان اثبات کرد؟

تلاش انجام‌شده:

می‌دانیم که از هر سه عدد متوالی طبیعی، حداقل یکی از آن‌ها زوج است. پس $n(n+1)(n+2)$ بر ۲ بخش‌پذیر است. حالا فقط کافی است که ثابت کنیم که $n(n+1)(n+2)$ بر ۳ نیز بخش‌پذیر است؛ زیرا اگر بر ۲ و ۳ بخش‌پذیر باشد، آنگاه بر $2\cdot3=6$ نیز بخش‌پذیر است و در نتیجه اثبات به پایان می‌رسد.

برای اثبات اینکه $n(n+1)(n+2)$ بر ۳ بخش‌پذیر است، سه حالت را برای $n$ در نظر می‌گیریم:

$$n=\begin{cases}3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}$$

• در حالت اول یعنی $n=3k$، مشخص است که $n$ بر ۳ بخش‌پذیر است؛ پس $n(n+1)(n+2)$ نیز بر ۳ بخش‌پذیر است.

• در حالت دوم یعنی $n=3k+1$، $n$ وقتی بر ۳ تقسیم می‌شود، باقی‌ماندهٔ ۱ می‌آورد؛ پس $n$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، اما $n+2$ بر ۳ بخش‌پذیر است؛ پس $n(n+1)(n+2)$ باز هم بر ۳ بخش‌پذیر می‌شود.

• در حالت سوم یعنی $n=3k+2$، $n$ وقتی بر ۳ تقسیم می‌شود، باقی‌ماندهٔ ۲ می‌آورد؛ پس $n$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، و همچنین $n+2$ نیز بر ۳ بخش‌پذیر نیست، اما $n+1$ بر ۳ بخش‌پذیر است؛ پس $n(n+1)(n+2)$ باز هم بر ۳ بخش‌پذیر می‌شود.

پس در هر سه حالت، $n(n+1)(n+2)$ بر ۳ بخش‌پذیر است و همانطور که در ابتدا گفتیم بر ۲ نیز بخش‌پذیر است؛ زیرا از هر سه عدد طبیعی متوالی، حداقل یکی از آنها زوج است. پس $n(n+1)(n+2)$ هم بر ۲ و هم بر ۳ بخش‌پذیر است و در نتیجه بر $2\cdot 3$ یعنی ۶ نیز بخش‌پذیر است و در نتیجه درستی حکم اثبات شد.

به‌نظر خودم که راه‌حلم درست است ولی اگر مشکلی دارد یا اینکه دوستان راه‌حل‌های دیگری در نظر دارند ممنون می‌شوم که در میان بگذارند.

Comments

روشتان ایرادی از لحاظ مفهومی ندارد اما اگر توجه کنید روشتان در واقع همان روش افراز اعداد صحیح به $3k,3k+1,3k+2$  است و بررسی این ۳ حالت عدد $n$ مناسب تر است.

---

کاملا درسته یک‌ نکته هم که حاصلضرب $n$ عدد طبیعی متوالی برابر $n !$ است

Answer 1

روش دیگری که به ذهنم می‌رسه، استفاده از ترکیبات می‌باشد. می‌دانیم:

$$\binom{n}{k} \in \mathbb{N}$$

پس در نتیجه:

$$\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{(n-1)!\cdot n(n+1)(n+2) }{3!\cdot(n-1)!} = \binom{n+2}{3} \in \mathbb{N}$$

Comments

خیلی قشنگ بود

Answer 2

به نام خدا

از استقرای ریاضی هم می‌توان استفاده کرد. ابتدا باید ثابت کنیم که حکم برای $n=1$ (اولین عدد طبیعی) درست است. برای این کار، $n=1$ را در عبارت جایگذاری می‌کنیم.

$$1(1+1)(1+2)=1(2)(3)=6$$

که حاصل برابر با 6 می‌شود و 6 بر 6 یعنی خودش بخش‌پذیر است. پس حکم برای $n=1$ درست است.$\checkmark$

حال فرض می‌کنیم که حکم برای $n=k$ درست است و از درست بودن $n=k$، درست بودن $n=k+1$ را نتیجه می‌گیریم. برای این کار، ابتدا قرار می‌دهیم $n=k$:

$$k(k+1)(k+2)$$

سپس قرار می‌دهیم $n=k+1$:

$$(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)$$

هر دو جملۀ $k+3$ (یعنی $k$ و 3+ را) را در $(k+1)(k+2)$ ضرب کردیم و حاصل برابر با طرف راست شد. می‌دانیم که $3(k+1)(k+2)$ بر 6 بخش‌پذیر است؛ زیرا بر 2 و بر 3 بخش‌پذیر است و همچنین فرض کرده بودیم که $k(k+1)(k+2)$ بر 6 بخش‌پذیر است. بنابراین، $k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)$ بر 6 بخش‌پذیر است و در نتیجه، $(k+1)(k+2)(k+3)$ نیز بر 6 بخش‌پذیر است. توانستیم با فرض درستی حکم برای $n=k$، درستی حکم برای $n=k+1$ را نتیجه بگیریم؛ پس بنابراین، طبق اصل استقرای ریاضی، حکم برای تمام اعداد طبیعی اثبات شد. $\blacksquare$

Answer 3

از هر سه عدد متوالی حدالقل یکی از انها زوج است؛ 6=3×2×1 2×3×4=24 24÷6=4 3×4×5=60 60÷6=10 z×f×z=x f×z×f=x Xعدد بخش پذیر بر 6 می باشد

Comments

با سلام
برای نوشتن علائم ریاضی در سایت باید به قسمت راهنمایی سایت بروید و آن را یاد بگیرید.
علاوه بر این مطلبی که در اثباتتان آوردید درست نیست.

---

@Zahrajafari87 : با درود. بنظر میرسد چیزی در ذهن دارید که بدرستی بیان نکردید. از هر سه عدد متوالی حداقل یکی بر $3$ و حداقل یکی بر $2$ بخشپذیر است. حال فرقی نمیکند دو حالت مذکور در یک عدد تجمیع شود یا در دو عدد مجزا ظاهر شود. درحاصلضرب این سه عدد، مضرب $6$ را خواهیم داشت.