به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+1 امتیاز
519 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (2,222 امتیاز)

با درود بر همراهان گرامی. ثابت کنید $99099$ تنها عدد متقارن پنج رقمی است که بر $693$ بخشپذیر است. طرح سؤال از جانب بنده است و مرجعی ندارد. با سپاس از همراهی دوستان.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (3,013 امتیاز)
انتخاب شده توسط ناصر آهنگرپور
 
بهترین پاسخ

از آنجائیکه 693 حاصل ضرب 99 و 7 می باشه پس از خاصیت بخشپذیری 99 در زیر استفاده می کنیم

عددی مانند $ \overline{abcba} $ بر 99 بخشپذیر است که مجموع دو رقم، دو رقم از سمت راست( یعنی $a+ \overline{bc} + \overline{ba} $ ) بر 99 بخشپذیر باشه

$$a+ \overline{bc} + \overline{ba}=20b+2a+c=99k $$

با توجه به حداقل و حداکثر پارامترها مقدار k برابر 1 یا 2 می باشه.

حالت اول) k برابر 1 باشه $$20b+2a+c=99 \Rightarrow b=4$$ پس داریم $$2a+c=19\Rightarrow a=5,c=9 \quad or \quad a=6,c=7 \quad or \quad a=7,c=5 \quad or \quad a=8,c=3 \quad or \quad a=9,c=1 $$ در این حالت پنج عدد 54945، 64746، 74547، 84348 و94149 بدست می آید که هیج کدام مضرب 7 نیست.

حالت دوم) k برابر 2 باشه $$20b+2a+c=198 \Rightarrow b=9$$ پس داریم $$2a+c=18\Rightarrow a=5,c=8 \quad or \quad a=6,c=6 \quad or \quad a=7,c=4 \quad or \quad a=8,c=2 \quad or \quad a=9,c=0 $$ در این حالت هم پنج عدد 59895،69696، 79497، 89298، 99099 بدست می آید که فقط عدد99099 مضرب 7 می باشه.

توسط ناصر آهنگرپور (2,222 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی. با قضاوت منصفانه، بنظر میاد راه حل شما کوتاهتر و کارآمدتر است. از همراهی سازنده تان سپاسگزارم. 1+
+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (2,222 امتیاز)

با درود به همراهان گرامی. واضح است که $a$ باید رقمی غیرصفر باشد. $$(1)\quad \overline{abcba}=693d$$ برای حل این مسئله باید $693$ را تجزیه کنیم و قواعد بخشپذیری را بکار بریم.

$$(2)\quad 693=3^2×7×11$$

برای بخشپذیری بر $7$، میدانیم که $mod(10,7)=3$ و $mod(100,7)=2$ و $mod(1000,7)=-1$ و $mod(10000,7)=4$ است. بنابراین برای $(1)$ خواهیم داشت. $$4a-b+2c+3b+a=7k\Longrightarrow \bbox[yellow]{(3)\quad 5a+2(b+c)=7k}$$ که با منظور کردن کمینه و بیشینه برای ارقام $(3)$، $(k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$ میتواند باشد.

بنابر قاعده بخشپذیری بر $9$ رابطه زیر برای $(1)$ برقرار است. $$\bbox[yellow]{(4)\quad 2(a+b)+c=9m}$$ که با منظور کردن کمینه و بیشینه برای ارقام $(4)$، $(m=1,2,3,4,5)$ میتواند باشد.

بنابر قاعده بخشپذیری بر $11$ رابطه زیر برای $(1)$ برقرار است. $$a-b+c-b+a=11n\Longrightarrow \bbox[yellow]{(5)\quad 2(a-b)+c=11n}$$ که با منظور کردن کمینه و بیشینه برای ارقام $(5)$، $(n=0,1,2)$ میتواند باشد. چون $n$ کمترین حالتها را دارد، با آن شروع میکنیم. هر سه تایی $a,b,c$ که در حالتهای $n$ صدق کند، باید همزمان در مورد معادلات $(4),(3)$ نیز درست $(.T.)$ باشد وگرنه نادرست $(.F.)$ است.

$$n=2\Longrightarrow 2(a-b)+c=22$$

$$c=4\Longrightarrow a=9,b=0\quad (.F.)$$ $$c=6\Longrightarrow a=9,b=1\quad (.F.)$$ $$c=6\Longrightarrow a=8,b=0\quad (.F.)$$ $$c=8\Longrightarrow a=9,b=2\quad (.F.)$$ $$c=8\Longrightarrow a=8,b=1\quad (.F.)$$ $$c=8\Longrightarrow a=7,b=0\quad (.F.)$$

$$n=1\Longrightarrow 2(a-b)+c=11$$

$$c=1\Longrightarrow a=9,b=4\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=8,b=3\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=7,b=2\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=6,b=1\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=5,b=0\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=9,b=5\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=8,b=4\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=7,b=3\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=6,b=2\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=5,b=1\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=4,b=0\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=9,b=6\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=8,b=5\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=7,b=4\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=6,b=3\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=5,b=2\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=4,b=1\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=3,b=0\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=9,b=7\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=8,b=6\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=6,b=4\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=5,b=3\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=4,b=2\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=3,b=1\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=2,b=0\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=9,b=8\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=8,b=7\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=7,b=6\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=6,b=5\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=5,b=4\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=4,b=3\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=3,b=2\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=2,b=1\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=1,b=0\quad (.F.)$$

$$n=0\Longrightarrow 2(a-b)+c=0$$

$$c=0\Longrightarrow a=1,b=1\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=2,b=2\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=3,b=3\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=4,b=4\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=5,b=5\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=6,b=6\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=7,b=7\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=8,b=8\quad (.F.)$$ $$\bbox[yellow]{c=0\Longrightarrow a=9,b=9\quad (.T.)}$$

با آرزوی موفقیت و تندرستی.

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...