ثابت کنید $99099$ تنها عدد متقارن پنج رقمی است که بر $693$ بخشپذیر است.

Question

با درود بر همراهان گرامی. ثابت کنید $99099$ تنها عدد متقارن پنج رقمی است که بر $693$ بخشپذیر است. طرح سؤال از جانب بنده است و مرجعی ندارد. با سپاس از همراهی دوستان.

Answer 1

از آنجائیکه 693 حاصل ضرب 99 و 7 می باشه پس از خاصیت بخشپذیری 99 در زیر استفاده می کنیم

عددی مانند $ \overline{abcba} $ بر 99 بخشپذیر است که مجموع دو رقم، دو رقم از سمت راست( یعنی $a+ \overline{bc} + \overline{ba} $ ) بر 99 بخشپذیر باشه

$$a+ \overline{bc} + \overline{ba}=20b+2a+c=99k $$

با توجه به حداقل و حداکثر پارامترها مقدار k برابر 1 یا 2 می باشه.

حالت اول) k برابر 1 باشه $$20b+2a+c=99 \Rightarrow b=4$$ پس داریم $$2a+c=19\Rightarrow a=5,c=9 \quad or \quad a=6,c=7 \quad or \quad a=7,c=5 \quad or \quad a=8,c=3 \quad or \quad a=9,c=1 $$ در این حالت پنج عدد 54945، 64746، 74547، 84348 و94149 بدست می آید که هیج کدام مضرب 7 نیست.

حالت دوم) k برابر 2 باشه $$20b+2a+c=198 \Rightarrow b=9$$ پس داریم $$2a+c=18\Rightarrow a=5,c=8 \quad or \quad a=6,c=6 \quad or \quad a=7,c=4 \quad or \quad a=8,c=2 \quad or \quad a=9,c=0 $$ در این حالت هم پنج عدد 59895،69696، 79497، 89298، 99099 بدست می آید که فقط عدد99099 مضرب 7 می باشه.

Comments

@amir7788 : با درود به دوست و استاد گرامی. با قضاوت منصفانه، بنظر میاد راه حل شما کوتاهتر و کارآمدتر است. از همراهی سازنده تان سپاسگزارم. 1+

Answer 2

با درود به همراهان گرامی. واضح است که $a$ باید رقمی غیرصفر باشد. $$(1)\quad \overline{abcba}=693d$$ برای حل این مسئله باید $693$ را تجزیه کنیم و قواعد بخشپذیری را بکار بریم.

$$(2)\quad 693=3^2×7×11$$

برای بخشپذیری بر $7$، میدانیم که $mod(10,7)=3$ و $mod(100,7)=2$ و $mod(1000,7)=-1$ و $mod(10000,7)=4$ است. بنابراین برای $(1)$ خواهیم داشت. $$4a-b+2c+3b+a=7k\Longrightarrow \bbox[yellow]{(3)\quad 5a+2(b+c)=7k}$$ که با منظور کردن کمینه و بیشینه برای ارقام $(3)$، $(k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$ میتواند باشد.

بنابر قاعده بخشپذیری بر $9$ رابطه زیر برای $(1)$ برقرار است. $$\bbox[yellow]{(4)\quad 2(a+b)+c=9m}$$ که با منظور کردن کمینه و بیشینه برای ارقام $(4)$، $(m=1,2,3,4,5)$ میتواند باشد.

بنابر قاعده بخشپذیری بر $11$ رابطه زیر برای $(1)$ برقرار است. $$a-b+c-b+a=11n\Longrightarrow \bbox[yellow]{(5)\quad 2(a-b)+c=11n}$$ که با منظور کردن کمینه و بیشینه برای ارقام $(5)$، $(n=0,1,2)$ میتواند باشد. چون $n$ کمترین حالتها را دارد، با آن شروع میکنیم. هر سه تایی $a,b,c$ که در حالتهای $n$ صدق کند، باید همزمان در مورد معادلات $(4),(3)$ نیز درست $(.T.)$ باشد وگرنه نادرست $(.F.)$ است.

$$n=2\Longrightarrow 2(a-b)+c=22$$

$$c=4\Longrightarrow a=9,b=0\quad (.F.)$$ $$c=6\Longrightarrow a=9,b=1\quad (.F.)$$ $$c=6\Longrightarrow a=8,b=0\quad (.F.)$$ $$c=8\Longrightarrow a=9,b=2\quad (.F.)$$ $$c=8\Longrightarrow a=8,b=1\quad (.F.)$$ $$c=8\Longrightarrow a=7,b=0\quad (.F.)$$

$$n=1\Longrightarrow 2(a-b)+c=11$$

$$c=1\Longrightarrow a=9,b=4\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=8,b=3\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=7,b=2\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=6,b=1\quad (.F.)$$ $$c=1\Longrightarrow a=5,b=0\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=9,b=5\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=8,b=4\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=7,b=3\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=6,b=2\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=5,b=1\quad (.F.)$$ $$c=3\Longrightarrow a=4,b=0\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=9,b=6\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=8,b=5\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=7,b=4\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=6,b=3\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=5,b=2\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=4,b=1\quad (.F.)$$ $$c=5\Longrightarrow a=3,b=0\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=9,b=7\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=8,b=6\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=6,b=4\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=5,b=3\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=4,b=2\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=3,b=1\quad (.F.)$$ $$c=7\Longrightarrow a=2,b=0\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=9,b=8\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=8,b=7\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=7,b=6\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=6,b=5\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=5,b=4\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=4,b=3\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=3,b=2\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=2,b=1\quad (.F.)$$ $$c=9\Longrightarrow a=1,b=0\quad (.F.)$$

$$n=0\Longrightarrow 2(a-b)+c=0$$

$$c=0\Longrightarrow a=1,b=1\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=2,b=2\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=3,b=3\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=4,b=4\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=5,b=5\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=6,b=6\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=7,b=7\quad (.F.)$$ $$c=0\Longrightarrow a=8,b=8\quad (.F.)$$ $$\bbox[yellow]{c=0\Longrightarrow a=9,b=9\quad (.T.)}$$

با آرزوی موفقیت و تندرستی.