برای تعریف مبنا میتوانید به کتابهایی که این مفهوم را آوردهاند مراجعه کنید. من با فرض اینکه تعریف مبنا را خواندید، پرسش را پاسخ میدهم. برای اینکه تعداد عددهای بخشپذیر بر ۳ در مبنای ۴ را بشماریم پیش از آن نگاهی در حالت مبنای ۱۰ بیندازیم. چه محکی در مبنای ۱۰ برای بخشپذیری بر ۳ داشتید؟ این گزاره را داشتید که یک عدد در مبنای ۱۰ (مبنای معمولی که در کارهای روزمره استفاده میکنید) بر ۳ بخشپذیر بود اگر و تنها اگر جمع رقمهای آن بر ۳ بخشپذیر میبود. اما چرا گزاره را داشتیم؟ توجه کنید که اگر $x=\overline{x_n\cdots x_2x_1}$ یک عدد در مبنای ۱۰ با رقمهای $x_1$ تا $x_n$ از راست به چپ باشد آنگاه مقدار آن برابر بود با
$$x=x_1+x_2(10)+x_3(10^2)+\cdots+x_n(10^{n-1})$$
همان یکها، دهها، صدها ... که در دبستان میگفتید! اکنون اگر با قانونهای همنهشتی آشنا باشید میدانید که چون $10\overset{3}{\equiv}1$ پس هر توان آن نیز به پیمانهٔ ۳ همنهشت با ۳ است. پس $x_i(10^{i-1})\overset{3}{\equiv}x_i(1)=x_i$ و با جمع این رابطهها برای $i$ از ۱ تا $n$ خواهیم داشت که $x\overset{3}{\equiv}\sum_{i=1}^{n}x_i$. با کنار هم گذاشتن این مطلب با اینکه یک عدد بر ۳ بخشپذیر است اگر و تنها اگر به پیمانهٔ ۳ همنهشت با صفر شود، گزارهای که داشتیم نتیجه میشود.
اینک برگردیم به مبنای ۴. اگر عدد $x$ در مبنای ۴ به شکل $\overline{a_m\cdots a_2a_1}$ نمایش دادهشود آنگاه یعنی $x$ چند است؟
$$x=a_1+a_2(4)+a_3(4^2)+\cdots+a_n(4^{n-1})$$
پس در مبنای ۴ به جای یکها، دهها، صدها شما یکها، چهارها، شانزدهها دارید. پس به نوعی پاسخ پرسشتان که منظور از مبنا چیست را تا حدی دادیم. به هر حال ببینیم آیا شگردی که در مبنای ۱۰ استفاده کردیم اینجا هم برقرار است؟ چون ۴ به پیمانهٔ ۳ همنهشت با ۱ است، پس پاسخ مثبت است! همان اثبات به ما گزارهٔ زیر را میدهد. «یک عدد بر ۳ بخشپذیر است اگر و تنها اگر جمع رقمهای نمایشش در مبنای ۴ عددی بخشپذیر بر ۳ شود.». در واقع الآن یک قالب کلی دارید که میتوانید برای مبناهای مختلف و بخشپذیری بر عددهای مختلف استفاده کنید، تا زمانی که مبنایتان به پیمانهٔ عدد مورد نظرتان همنهشت با یک شود این شگرد کار میکند، البته میتوانید به حالتهای کلیتر دیگر نیز تعمیم بدهید. به هر حال. اکنون بیاییم تعداد عددهای $n$ رقمی در مبنای ۴ که با رقمهای ۱ تا ۳ نوشته میشوند و بر ۳ بخشپذیر هستند را بشماریم. با توجه به نکتهای که ثابت کردیم، کار خیلی ساده میشود. مجموعهٔ $B_n$ را مجموعهٔ عددهای $n$رقمی ساختهشده با ۱ و ۲ و ۳ و بخشپذیر بر ۳ تعریف کنید و تعداد اعضایش را با $b_n$ نمایش دهید. آشکارا $b_1=1$. واضح است که یک عدد که عضو $B_{n+1}$ است یا از اضافه کردن یک ۳ به انتهای یک عدد که در $B_n$ بوده ساختهشدهاست یا یک عدد $n$رقمی ساختهشده با ۱ و ۲ و ۳ بیرون از $B_n$ بوده که با توجه به اینکه جمع رقمهایش بر پیمانهٔ ۳ برابر با ۱ یا ۲ شدهاست، ۲ یا ۱ به انتهایش اضافه شدهاست. پس تعداد اعضای $B_{n+1}$ برابر است با تعداد اعضای $B_n$ بعلاوهٔ تعداد عددهای $n$رقمی ساختهشده با ۱ و ۲ و ۳ بیرون از $B_n$. جمع این دو عدد برابر با تعداد کل عددهای $n$ رقمی ساختهشده با ۱ و ۲ و ۳ میشود. پس $b_{n+1}=3^n$. پاسخ نهایی پرسش شما برابر میشود با $3^{8-1}=2187$.
