ثابت کنید فقط یک عدد طبیعی $3$ رقمی وجود دارد که مکعب آن به $111$ ختم میشود.

Question

با درود به همه دوستان و اساتید عزیز. ثابت کنید فقط یک عدد طبیعی $3$ رقمی وجود دارد که مکعب آن به $111$ ختم میشود و آن عدد را بیابید.

راهنمایی: با بسط دوجمله ای نیوتون در دو مرحله و باتوجه به اینکه فقط رقم یکان $1$ در این مورد صدق میکند، میتوان این مسئله را حل کرد.

Answer 1

با درود مجدد. در ادامه پاسخ خود را مینویسم. امیدوارم دوستان و اساتید عزیز مرا از نقطه نظرات یا راه حلهای بهتر بی نصیب نسازند.چون رقم یکان ریشه، فقط عدد $1$ را می پذیرد و با در نظر گرفتن $b$ بجای بقیه ارقام ریشه سوم، داریم.

$1)(10b+1)^3=1000b^3+300b^2+30b+1$

همانطور که می بینیم رقم دهگان مکعب، با $3b$ شروع میشود که بمنظور برآورده شدن رقم دهگان $1$ برای مکعب، $b$ فقط میتواند با $7$ شروع شود.حال میتوانیم بجای $1$ در اتحاد $1$، $71$ را جایگزین کنیم و رقم صدگان ریشه را $a$ درنظر بگیریم. بنابراین داریم.

$2)(100a+71)^3=1000000a^3+2130000a^2+1512300a+357911$

همانطور که می بینیم رقم سوم ریشه با $1512300a+357911$ مشخص میشود. چون مجموع این عبارت قرار است به $111$ ختم شود، $a$ مقداری بجز $4$ نمی پذیرد. بنابراین عدد مورد نظر ما $471$ خواهد بود که مکعب آن مساویست با $104487111$. با امید به سرافرازی جوانان کشورمان در عرصه های علمی.