برای اعداد با ارقام نامتقارن در مبنای شمارش مفروض، مبنای شمارش دیگری وجود دارد که در آن ارقامش بصورت متقارن ظاهر شوند؟

Question

با درود به اساتید و دوستان گرامی: بنظر میاد برای هر عددی با ارقام نامتقارن در مبنای شمارشی مفروض، مبنای شمارش دیگری وجود دارد که در آن ارقامش بصورت متقارن ظاهر شود. مثلاً در مبنای شمارش هگزادسیمال، ارقام عدد $4C5$ نامتقارن است ولی در سیستم دهدهی مساوی $1221$ است که عددی با ارقام متقارن محسوب میشود. و برعکس، ارقام عدد $16$ در مبنای شمارش دهدهی نامتقارن است ولی در مبنای شمارش سه، مساوی $121$ میشود که عددی با ارقام متقارن است. آیا روشی برای رد یا اثبات این مطلب وجود دارد؟

تلاش خودم: با فرض اینکه هر عدد $N$ با ارقام نامتقارن را با مبنای شمارش دیگری مانند $x$ میتوان بشکل زیر بصورت ارقام متقارن نوشت،

$ a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1}+ a_{2} x^{n-2}+. . . . + a_{2} x^{2} + a_{1} x+ a_{0} =N$

که در آن ارقام متقارن $ a_{i}$ کوچکتر از مبنای شمارش $x$ هستند، اگر معادله فوق دارای حداقل یک جواب برای $x$ بصورت عدد طبیعی باشد، یعنی حدسمان درست است. شاید با قضیه صفرهای گویای چند جمله ایها بتوان رد یا اثباتی برای این مطلب پیدا کرد که در صلاحیت اساتید محترم مانند @AmirHosein و @fardina است.

Answer 1

آنچه ارائه دادید درسته.برای هر عدد هم درسته چه متقارن و چه غیر متقارن.

$N=\overline{(a_na_{n-1}...a_1a_0)x} \Rightarrow a_nx^n+a{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=N$

یعنی $x>1$ جوابی طبیعی از معادله $a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_1y+a_0=N$ است که

$ \vee 0 \leq i \leq n:a_i \in W \wedge 0 \leq a_i \leq x$

از طرفی دیگر اگر$ \vee 0 \leq i \leq n:a_i \in W \wedge 0 \leq a_i \leq x$ و $x$ ریشه معادله $a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_1y+a_0=N$ آنگاه:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=N \Rightarrow N=\overline{(a_na_{n-1}...a_1a_0)_x}$

در واقع نمی توان گفت آنچه را ما ارائه دادیم حدس است.بلکه بیان یک موضوع است به دو زبان ریاضی و فارسی.

$ \Box $