به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
448 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود به اساتید و دوستان گرامی: بنظر میاد برای هر عددی با ارقام نامتقارن در مبنای شمارشی مفروض، مبنای شمارش دیگری وجود دارد که در آن ارقامش بصورت متقارن ظاهر شود. مثلاً در مبنای شمارش هگزادسیمال، ارقام عدد $4C5$ نامتقارن است ولی در سیستم دهدهی مساوی $1221$ است که عددی با ارقام متقارن محسوب میشود. و برعکس، ارقام عدد $16$ در مبنای شمارش دهدهی نامتقارن است ولی در مبنای شمارش سه، مساوی $121$ میشود که عددی با ارقام متقارن است. آیا روشی برای رد یا اثبات این مطلب وجود دارد؟

تلاش خودم: با فرض اینکه هر عدد $N$ با ارقام نامتقارن را با مبنای شمارش دیگری مانند $x$ میتوان بشکل زیر بصورت ارقام متقارن نوشت،

$ a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1}+ a_{2} x^{n-2}+. . . . + a_{2} x^{2} + a_{1} x+ a_{0} =N$

که در آن ارقام متقارن $ a_{i}$ کوچکتر از مبنای شمارش $x$ هستند، اگر معادله فوق دارای حداقل یک جواب برای $x$ بصورت عدد طبیعی باشد، یعنی حدسمان درست است. شاید با قضیه صفرهای گویای چند جمله ایها بتوان رد یا اثباتی برای این مطلب پیدا کرد که در صلاحیت اساتید محترم مانند @AmirHosein و @fardina است.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,383 امتیاز)

آنچه ارائه دادید درسته.برای هر عدد هم درسته چه متقارن و چه غیر متقارن.

$N=\overline{(a_na_{n-1}...a_1a_0)x} \Rightarrow a_nx^n+a{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=N$

یعنی $x>1$ جوابی طبیعی از معادله $a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_1y+a_0=N$ است که

$ \vee 0 \leq i \leq n:a_i \in W \wedge 0 \leq a_i \leq x$

از طرفی دیگر اگر$ \vee 0 \leq i \leq n:a_i \in W \wedge 0 \leq a_i \leq x$ و $x$ ریشه معادله $a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_1y+a_0=N$ آنگاه:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=N \Rightarrow N=\overline{(a_na_{n-1}...a_1a_0)_x}$

در واقع نمی توان گفت آنچه را ما ارائه دادیم حدس است.بلکه بیان یک موضوع است به دو زبان ریاضی و فارسی.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...