به جای شروع به فکر کردن پیرامون عددهای ده‌رقمی، نخست عددهای یک‌رقمی و سپس دورقمی و سپس سه‌رقمی ممکن که تعدادشان کم است را بنویسید. ۵ عدد برای یک‌رقمی‌ها، ۸ تا برای دورقمی‌ها و ۱۴ تا برای سه‌رقمی‌ها دارید. ولی به عددهایی که نوشتید خوب نگاه کنید و ببینید که چگونه بر حسب عددهای با تعداد رقم کمتر نوشته شده‌اند. من خودم ابتدا به این فکر کردم که این عددها را به دو دستهٔ عددهایی که به ۱ و ۵ پایان می‌یابند و عددهایی که به ۲ و ۳ و ۴ پایان می‌یابند تقسیم کنم و سپس رابطهٔ بازگشتی بسازم ولی سریع به مشکل برخورد. در واقع نیاز دارید که به سه دسته تقسیم کنید. گروه یکُم عددهایی که به ۱ و ۵ پایان می‌یابند، چون این عددها تنها به یک حالت به عدد با یک رقم بیشتر تبدیل می‌شوند. گروه دوم عددهایی که به ۲ و ۴ پایان می‌یابند، چون این عددها هر یک به دو حالت به یک عدد با رقم بیشتر تبدیل می‌شوند ولی یک حالت به گروه یکُم برمی‌گردد و یک حالت بیرون از گروهِ یکُم (در واقع گروه سوم). گروه سوم عددهایی که به ۳ پایان می‌یابند، چون این عددها دو حالت برای گسترش به عدد با یک رقم بیشتر دارند و هر دو حالت عضو گروه دوم می‌شوند. پس اگر تعداد عضوهای گروه‌های یکُم، دوم و سوم برای $n$-رقم را به ترتیب با $a_n$، $b_n$ و $c_n$ نمایش دهیم. آنگاه ثابت کرده‌ایم که برای هر $n\geq 2$ داریم:
\begin{align}
a_{n+1} &= b_n\\
b_{n+1} &= a_n+2c_n\\
c_{n+1} &= b_n
\end{align}
و توجه کنید که اگر تعداد عددهای $n$ رقمیِ ممکنِ خواسته شدهٔ پرسش را با $x_n$ نمایش دهیم، آنگاه برای هر $n\in\mathbb{N}$ داریم $x_n=a_n+b_n+c_n$. پس کافی است سه دنبالهٔ مربوط به تعداد عددهای سه گروه را بیابیم تا فرمولی برای $x_n$ بدست‌آوریم و در پایان با یک جایگذاریِ $n=10$ پاسخِ پرسش را بگیریم.
توجه کنید که به جز برای $n=1$، داریم $c_n=a_n$ بعلاوه این دو دنباله در واقع همان دنبالهٔ $b_n$ هستند که یک جمله تأخیر دارند. اگر برای $n$های ۱ و ۲ و ۳ این عددها را نوشته باشید باید برایتان جدول زیر روشن باشد.
$$\begin{array}{c|ccc}
n & 1 & 2 & 3\\\hline
a_n & 2 & 2 & 4\\
b_n & 2 & 4 & 6\\
c_n & 1 & 2 & 4\\\hline
x_n & 5 & 8 & 14
\end{array}$$
پس برای $n\geq 2$ می‌توانیم بنویسیم
\begin{align}
b_{n+1} &= a_n+2c_n\\
&= 3a_n\\
&= 3b_{n-1}
\end{align}
پس اگر $n\geq 3$ می‌توان آن را به این شکل نوشت.
$$b_n=3b_{n-2},\;b_1=2,\;b_2=6$$
پس یک دنبالهٔ بازگشتیِ خطی داریم. در چند پست دیگر در همین سایت شیوه‌های یافتنِ ضابطهٔ نابازگشتی برای این چنین دنباله‌هایی توضیح داده‌شده‌است. برای نمونه به پست زیر نگاه کنید.
https://math.irancircle.com/18415/#a18448
پس نخست برابریِ تک‌مجهولهٔ $x^2-3=0$ را حل می‌کنیم که به دو پاسخِ $\sqrt{3}$ و $-\sqrt{3}$ می‌رسیم. در نتیجه ضابطه‌مان باید به شکلِ $b_n=\lambda_1(\sqrt{3})^n+\lambda_2(-\sqrt{3})^n$ باشد. با جایگذاری دو شرطِ آغازی‌مان یعنی برای $b_1=2$ و $b_2=4$ به $\lambda_1=\frac{2+\sqrt{3}}{3}$ و $\lambda_2=\frac{2-\sqrt{3}}{3}$ می‌رسیم. پس داریم:
$$b_n=\frac{2+\sqrt{3}}{3}(\sqrt{3})^2+\frac{2-\sqrt{3}}{3}(-\sqrt{3})^n$$
و با جایگذاریِ این ضابطه در $x_n=b_n+2b_{n-1}$ می‌توانید ضابطهٔ $x_n$ را برای $n$های بزرگتر یا مساویِ ۲ را بیابید. با گذاشتنِ $n=10$ و $n=9$ در ضابطهٔ $b_n$ به عددهای ۳۲۴ و ۱۶۲ می‌رسیم پس $x_{10}=648$ است. البته اگر هدف تنها یافتن $x_{10}$ است و پرسش زمان کمی دارد می‌توانید به همان نکتهٔ شروع در بالا که رابطهٔ $a_n$ و $b_n$ و $c_n$ نسبت به یک رقم کمتر را نشان داد و جدولی که برای ۳ حالت نخست کشیدیم اکتفا کنید و سپس با ضرب و جمع سریع ستون‌های جدول را تا $n=10$ پیش ببرید و نیازی به یافتن ضابطهٔ صریح و سپس ساده‌کردن رادیکال‌سه‌ها در جایگذاری‌ها نیست.
