در سوال باید داشته باشیم که p \geq 3 چون اگر p=2 فقط 1 مسیر داریم اما حاصل جز صحیح برابر 2 می‌شود.
ابتدا تعداد مسیرهای موجود به طول k برابر است با اینکه ما غیر از دو راس دلخواه انتخاب شده k-1 راس دیگر را در بین رئوس باقیمانده انتخاب کنیم و به هر ترتیبی که این رئوس را بین دو راس اولیه قرار دهیم یک مسیر بین دو راس اولیه بدست می‌آید لذا تعداد حالات برابر است با {p-2 \choose{k-1} }(k-1)!
پس تعداد کل مسیرها با طولهای دلخواه بین دو راس دلخواه اولیه برابر است با: \sum_{k=1}^{p-1} {p-2 \choose{k-1} }(k-1)! یا با لغزاندن اندیس‌ها داریم \sum_{k=0}^{p-2} {p-2 \choose{k} }(k)! که داریم:
\begin{align}
\sum_{k=0}^{p-2} {p-2 \choose{k} }(k)! &= \sum_{k=0}^{p-2} \frac{(p-2)!}{(p-2-k)!}\\
&= (p-2)! \sum_{k=0}^{p-2} \frac{1}{(p-2-k)!}\\
&= (p-2)! \sum_{j=0}^{p-2} \frac{1}{j!}
\end{align}
دقت کنید (p-2)! \sum_{j=0}^{p-2} \frac{1}{j!} همان \sum_{k=0}^{p-2} {p-2 \choose{k} }(k)! است پس یک عدد صحیح است (بعدا که با جز صحیح کار داریم از این نکته استفاده می‌شود)
توجه کنید e^{x} = \sum_{j=0}^ \infty \frac{ x^{k} }{j!} پس اگر قرار دهیم x=1 آنگاه e = \sum_{j=0}^ \infty \frac{ 1 }{j!}
پس
(p-2)!e= (p-2)! \sum_{j=0}^{p-2} \frac{1}{j!}+(p-2)! \sum_{j=p-1}^ \infty \frac{ 1 }{j!}
که اگر نشان دهیم (p-2)! \sum_{j=p-1}^ \infty \frac{ 1 }{j!} < 1 آنگاه [(p-2)!e]=(p-2)! \sum_{j=0}^{p-2} \frac{1}{j!} و حکم ثابت می‌شود
\begin{align}
(p-2)! \sum_{j=p-1}^ \infty \frac{ 1 }{j!} &< \frac{1}{p-1} + \frac{1}{(p-1)p} + \frac{1}{(p-1)p(p+1)}+\dots\\
&< \frac{1}{p-1} + \frac{1}{(p-1)p} + \frac{1}{(p-1)p^2} +\dots
\end{align}
که آخری دنباله‌ای هندسی با جمله اول \frac{1}{p-1} و قدر نسبت \frac{1}{p} است که حد مجموع آن برابر است با
\frac{ \frac{1}{p-1}}{1- \frac{1}{p}} = \frac{p}{ (p-1)^{2} }
که برای
p \geq 3 عبارت کمتر از 1 است.(به کمک معادله و تعیین علامت)
