به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
8,228 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط A-math-lover (777 امتیاز)
ویرایش شده توسط A-math-lover

حاصل‌ضرب هر سه عدد متوالی طبیعی، بر ۶ بخش‌پذیر است. به عبارت دیگر اگر $n\in\mathbb{N}$، آنگاه: $$6 \mid n(n+1)(n+2)$$

این موضوع را چگونه می‌توان اثبات کرد؟

تلاش انجام‌شده:

می‌دانیم که از هر سه عدد متوالی طبیعی، حداقل یکی از آن‌ها زوج است. پس $n(n+1)(n+2)$ بر ۲ بخش‌پذیر است. حالا فقط کافی است که ثابت کنیم که $n(n+1)(n+2)$ بر ۳ نیز بخش‌پذیر است؛ زیرا اگر بر ۲ و ۳ بخش‌پذیر باشد، آنگاه بر $2\cdot3=6$ نیز بخش‌پذیر است و در نتیجه اثبات به پایان می‌رسد.

برای اثبات اینکه $n(n+1)(n+2)$ بر ۳ بخش‌پذیر است، سه حالت را برای $n$ در نظر می‌گیریم:

$$n=\begin{cases}3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}$$
  • در حالت اول یعنی $n=3k$، مشخص است که $n$ بر ۳ بخش‌پذیر است؛ پس $n(n+1)(n+2)$ نیز بر ۳ بخش‌پذیر است.

  • در حالت دوم یعنی $n=3k+1$، $n$ وقتی بر ۳ تقسیم می‌شود، باقی‌ماندهٔ ۱ می‌آورد؛ پس $n$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، اما $n+2$ بر ۳ بخش‌پذیر است؛ پس $n(n+1)(n+2)$ باز هم بر ۳ بخش‌پذیر می‌شود.

  • در حالت سوم یعنی $n=3k+2$، $n$ وقتی بر ۳ تقسیم می‌شود، باقی‌ماندهٔ ۲ می‌آورد؛ پس $n$ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، و همچنین $n+2$ نیز بر ۳ بخش‌پذیر نیست، اما $n+1$ بر ۳ بخش‌پذیر است؛ پس $n(n+1)(n+2)$ باز هم بر ۳ بخش‌پذیر می‌شود.

پس در هر سه حالت، $n(n+1)(n+2)$ بر ۳ بخش‌پذیر است و همانطور که در ابتدا گفتیم بر ۲ نیز بخش‌پذیر است؛ زیرا از هر سه عدد طبیعی متوالی، حداقل یکی از آنها زوج است. پس $n(n+1)(n+2)$ هم بر ۲ و هم بر ۳ بخش‌پذیر است و در نتیجه بر $2\cdot 3$ یعنی ۶ نیز بخش‌پذیر است و در نتیجه درستی حکم اثبات شد.

به‌نظر خودم که راه‌حلم درست است ولی اگر مشکلی دارد یا اینکه دوستان راه‌حل‌های دیگری در نظر دارند ممنون می‌شوم که در میان بگذارند.

توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
+3
روشتان ایرادی از لحاظ مفهومی ندارد اما اگر توجه کنید روشتان در واقع همان روش افراز اعداد صحیح به $3k,3k+1,3k+2$  است و بررسی این ۳ حالت عدد $n$ مناسب تر است.
توسط matt (438 امتیاز)
+3
کاملا درسته یک‌ نکته هم که حاصلضرب $n$ عدد طبیعی متوالی برابر $n !$ است

3 پاسخ

+4 امتیاز
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser
 
بهترین پاسخ

روش دیگری که به ذهنم می‌رسه، استفاده از ترکیبات می‌باشد. می‌دانیم:

$$\binom{n}{k} \in \mathbb{N}$$

پس در نتیجه:

$$ \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{(n-1)!\cdot n(n+1)(n+2) }{3!\cdot(n-1)!} = \binom{n+2}{3} \in \mathbb{N}$$

0 امتیاز
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

به نام خدا

از استقرای ریاضی هم می‌توان استفاده کرد. ابتدا باید ثابت کنیم که حکم برای $n=1$ (اولین عدد طبیعی) درست است. برای این کار، $n=1$ را در عبارت جایگذاری می‌کنیم.

$$1(1+1)(1+2)=1(2)(3)=6$$

که حاصل برابر با 6 می‌شود و 6 بر 6 یعنی خودش بخش‌پذیر است. پس حکم برای $n=1$ درست است.$\checkmark$

حال فرض می‌کنیم که حکم برای $n=k$ درست است و از درست بودن $n=k$، درست بودن $n=k+1$ را نتیجه می‌گیریم. برای این کار، ابتدا قرار می‌دهیم $n=k$:

$$k(k+1)(k+2)$$

سپس قرار می‌دهیم $n=k+1$:

$$(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)$$

هر دو جملۀ $k+3$ (یعنی $k$ و 3+ را) را در $(k+1)(k+2)$ ضرب کردیم و حاصل برابر با طرف راست شد. می‌دانیم که $3(k+1)(k+2)$ بر 6 بخش‌پذیر است؛ زیرا بر 2 و بر 3 بخش‌پذیر است و همچنین فرض کرده بودیم که $k(k+1)(k+2)$ بر 6 بخش‌پذیر است. بنابراین، $k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)$ بر 6 بخش‌پذیر است و در نتیجه، $(k+1)(k+2)(k+3)$ نیز بر 6 بخش‌پذیر است. توانستیم با فرض درستی حکم برای $n=k$، درستی حکم برای $n=k+1$ را نتیجه بگیریم؛ پس بنابراین، طبق اصل استقرای ریاضی، حکم برای تمام اعداد طبیعی اثبات شد. $\blacksquare$

–2 امتیاز
توسط Zahrajafari87 (2 امتیاز)

از هر سه عدد متوالی حدالقل یکی از انها زوج است؛ 6=3×2×1 2×3×4=24 24÷6=4 3×4×5=60 60÷6=10 z×f×z=x f×z×f=x Xعدد بخش پذیر بر 6 می باشد

توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
+2
با سلام
برای نوشتن علائم ریاضی در سایت باید به قسمت راهنمایی سایت بروید و آن را یاد بگیرید.
علاوه بر این مطلبی که در اثباتتان آوردید درست نیست.
توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
+2
@Zahrajafari87 : با درود. بنظر میرسد چیزی در ذهن دارید که بدرستی بیان نکردید. از هر سه عدد متوالی حداقل یکی بر $3$ و حداقل یکی بر $2$ بخشپذیر است. حال فرقی نمیکند دو حالت مذکور در یک عدد تجمیع شود یا در دو عدد مجزا ظاهر شود. درحاصلضرب این سه عدد، مضرب $6$ را خواهیم داشت.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...