به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+7 امتیاز
206 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط A-math-lover (665 امتیاز)
ویرایش شده توسط A-math-lover

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید سایت محفل ریاضی ایرانیان

می‌دانیم که دنبالهٔ فیبوناچی، دنباله‌ای است به‌صورت زیر:

$$\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...\}$$

که در آن هر جمله (به‌جز جملهٔ اول و دوم) برابر با حاصل جمع دو جملهٔ قبلی است.

و شاید بدانید که:

هر دو جملهٔ متوالی دنبالهٔ فیبوناچی نسبت به هم اول هستند.

این موضوع درست است اما آن را چگونه می‌توان با برهان خلف اثبات کرد؟

تلاش انجام‌شده:

اول فرض کردم که حکم نادرست باشد، پس فرض می‌کنیم که در دنبالهٔ فیبوناچی داریم:

$$F_n=m\cdot p$$

$$F_{n+1}=k\cdot p$$

این یعنی این که دو جملهٔ متوالی در دنباله وجود دارند که نسبت به هم اول نیستند و عامل مشترک ($p$) دارند.

در نتیجه:

$$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \Longrightarrow F_{n-1}=F_{n+1}-F_n \Longrightarrow F_{n-1}=kp-mp=(k-m)\cdot p$$

پس $F_{n-1}$ هم بر $p$ بخش‌پذیر است. به همین شکل می‌توانیم نتیجه بگیریم که $F_{n-2}$ و $F_{n-3}$ و $F_{n-4}$ و... همگی بر $p$ بخش‌پذیر هستند و آنقدر به عقب می‌رویم تا به جملهٔ دوم دنباله می‌رسیم و نتیجه می‌گیریم که جملهٔ دوم دنباله هم بر $p$ بخش‌پذیر است. اما این یک تناقض است؛ زیرا جملهٔ دوم دنباله برابر با عدد یک است و $p>1$ و عدد یک فقط بر خودش بخش‌پذیر است. اما ما نتیجه گرفتیم که عدد یک بر $p$ که بزرگتر از یک است بخش‌پذیر است! پس به تناقض رسیدیم و فرض خلف باطل شد و در نتیجه درستی حکم اثبات شد.

توسط AbbasJ (321 امتیاز)
+1
خب اثبات شما درسته دیگه

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

اثبات مستقیما از استقرا ریاضی استفاده می کنم. واضح است دو جمله اول دنباله نسبت بهم اولند فرض می کنیم $$(F_k, F_{k+1})=1 $$ حال نشان می دهیم دو جمله متوالی بعدی نسبت بهم اولند $$(F_{k+1}, F_{k+2 }) =(F_{k+1},F_{k+1}+F_k)=(F_{k+1},F_k) =1 $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...