با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید سایت محفل ریاضی ایرانیان
می‌دانیم که دنبالهٔ فیبوناچی، دنباله‌ای است به‌صورت زیر:
$$\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...\}$$
که در آن هر جمله (به‌جز جملهٔ اول و دوم) برابر با حاصل جمع دو جملهٔ قبلی است.
و شاید بدانید که:
هر دو جملهٔ متوالی دنبالهٔ فیبوناچی نسبت به هم اول هستند.
این موضوع درست است اما آن را چگونه می‌توان با برهان خلف اثبات کرد؟
تلاش انجام‌شده:
اول فرض کردم که حکم نادرست باشد، پس فرض می‌کنیم که در دنبالهٔ فیبوناچی داریم:
$$F_n=m\cdot p$$
$$F_{n+1}=k\cdot p$$
این یعنی این که دو جملهٔ متوالی در دنباله وجود دارند که نسبت به هم اول نیستند و عامل مشترک ($p$) دارند.
در نتیجه:
$$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \Longrightarrow F_{n-1}=F_{n+1}-F_n \Longrightarrow F_{n-1}=kp-mp=(k-m)\cdot p$$
پس $F_{n-1}$ هم بر $p$ بخش‌پذیر است. به همین شکل می‌توانیم نتیجه بگیریم که $F_{n-2}$ و $F_{n-3}$ و $F_{n-4}$ و... همگی بر $p$ بخش‌پذیر هستند و آنقدر به عقب می‌رویم تا به جملهٔ دوم دنباله می‌رسیم و نتیجه می‌گیریم که جملهٔ دوم دنباله هم بر $p$ بخش‌پذیر است. اما این یک تناقض است؛ زیرا جملهٔ دوم دنباله برابر با عدد یک است و $p>1$ و عدد یک فقط بر خودش بخش‌پذیر است. اما ما نتیجه گرفتیم که عدد یک بر $p$ که بزرگتر از یک است بخش‌پذیر است! پس به تناقض رسیدیم و فرض خلف باطل شد و در نتیجه درستی حکم اثبات شد.
