ثابت کنید که دو ضریبی که در لم بزو برای ساخت ب.م.م می یابیم نسبت به هم اول هستند.

Question

اگر $m$ و $n$ دو عدد صحیح باشند و داشته باشیم $ma+nb=(a,b)$ که منظور از $(a,b)$ ب.م.م دو عدد $a$ و $b$ است، ثابت کنید $(m,n)=1$ است، یعنی $m$ و $n$ نسبت به هم اول هستند.

Comments

@Neseli پرسش شما خود لم بزو نیست، بلکه مرتبط با لم بزو است. بعلاوه «لم بزو» با «قضیهٔ بزو» که گزاره‌ای در هندسهٔ جبری پیرامون تعداد صفرهای یک دستگاه چندجمله‌ای است تفاوت دارد.

Answer 1

فرض میکنیم $(a,b)=d$ و $a= a' d$ , $b= b' d$ که در این صورت میتوان نوشت :

$md a' +nd b' =d$

$m a' +n b' =1$

حال دوباره فرض میکنیم $(m,n)= d'$ , $m= m' d'$ , $n= n' d'$ :

$a' m' d' + b' n' d' =1$

$a' m' d' =1- b' n' d'$

حال چون طرف چپ بر $d'$ بخش پذیر است در نتیجه $d' \mid 1$ در نتیجه $d' =1$

Comments

منظورتون اینه که ب.م.م m,n یک هستش

---

بله . $d'$ همون ب.م.م mوn هستش.

---

@A_Math_L خطی که $b'n'd'$ را به سمت راست بردید کاری اضافه است چون از همان خط قبلی اینکه $d'$ باید ۱ را بشمارد نتیجه می‌شود.