ثابت کنید که حاصل ضرب ب.م.م. و ک.م.م. دو عدد، برابر است با حاصل ضرب همان دو عدد

Question

باسلام.

می‌دانم که حاصل‌ضرب ب. م. م. و ک. م. م. دو عدد، برابر است با حاصل‌ضرب همان دو عدد. با عددهای زیادی هم امتحان کردم. همین طوری می‌شد. مثلاً، ب. م. م. 20 و ۲۴ برابر است با 4 و ک. م. م. ۲۰ و ۲۴ برابر است با 120. اگر ب. م. م. در ک. م. م. ضرب بشه، برابرِ ۴۸۰ می‌شه. این برابر می‌شه با حاصل‌ضرب ۲۴ در ۲۰. من می‌خواهم اثبات این رو بنویسم، اما مشکل دارم و نمی‌توانم حلش کنم. ممنون می‌شوم راهنمایی‌ام کنید که چطور اثبات کنم. با تشکر.

Answer 1

به نام خدا.

فرض کنید که $[a,b]=k$ و $(a,b)=d$ باشد. چیزی که شما می‌خواهید اثبات کنید تساوی زیر است:

$$[a,b] (a,b)=ab$$

می‌دانیم که $a | k$ پس $ab | kb$ و می‌دانیم که$b | k$ پس$ab | ka$. پس نتیجه می‌گیریم که:

$$ab | (ka,kb)=k(a,b)=kd\quad (\star)$$

از طرفی می‌دانیم که $a | \frac{ab}{d} $ و $b | \frac{ab}{d} $ پس عدد صحیح $\frac{ab}{d} $ مضرب مشترک دو عدد $a,b$ است. پس ک.م.م باید این عدد را عاد کند:

$$k | \frac{ab}{d} \Longrightarrow kd | ab\quad (\star\star)$$

که‌ از $(\star)$ و $(\star\star)$ نتیجه می‌گیریم:

$$kd=ab \Longrightarrow (a,b)[a,b]=ab$$

Answer 2

برای اثبات تساوی زیر کافی است نشان دهیم تعداد عامل اول p در دو طرف تساوی برابرند $$[a,b] (a,b)=ab$$ فرض کنید تعداد عامل اول p در a و b به ترتیب n و m باشه واضح است که تعداد عامل اول p در دو طرف تساوی برابر n+m می باشد.

Comments

@amir7788 در واقع منظورتان از واضح است این است که باید ثابت کرد که جمع کمینه و بیشینهٔ دو عدد برابر با جمع خود آن دو عدد می‌شود.