به نام خدا.
فرض کنید که $[a,b]=k$ و $(a,b)=d$ باشد. چیزی که شما میخواهید اثبات کنید تساوی زیر است:
$$[a,b] (a,b)=ab$$
میدانیم که $a | k$ پس $ab | kb$ و میدانیم که$b | k$ پس$ab | ka$. پس نتیجه میگیریم که:
$$ab | (ka,kb)=k(a,b)=kd\quad (\star)$$
از طرفی میدانیم که $a | \frac{ab}{d} $ و $b | \frac{ab}{d} $ پس عدد صحیح $\frac{ab}{d} $ مضرب مشترک دو عدد $a,b$ است. پس ک.م.م باید این عدد را عاد کند:
$$k | \frac{ab}{d} \Longrightarrow kd | ab\quad (\star\star)$$
که از $(\star)$ و $(\star\star)$ نتیجه میگیریم:
$$kd=ab \Longrightarrow (a,b)[a,b]=ab$$
