به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
174 بازدید
در دانشگاه توسط Math4 (7 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید که $G$ گروهی متناهی و $N$ یک زیرگروه نرمال از آن باشد. اگر $H$ زیرگروه دیگری از $G$ باشد که $|G\colon N|$ و $|H|$ نسبت به هم اول باشند، آنگاه ثابت کنید که $H\leq N$، یعنی $H$ زیرگروهی از $N$ نیز است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)

فرض کنید $a \in H$ نشان می دهیم $a \in N$ . از آنجا که $H \leq G$ پس $a \in G$ بنابراین $aN \in \frac{G}{N} $ . طبق قضیه لاگرانژ $o(aN) | \ | \frac{G}{N} | $ . از طرفی چون $a \in H$ پس $ a^{ | H | } = e $ بنابراین $(aN)^{ | H | }=a^{ | H | }N=eN=N$ . پس $o(aN)| \ | H |$ . در نتیجه $o(aN) | (| H | , | \frac{G}{N} |)$ . چون $(| H | , | \frac{G}{N} |) = 1 $ . پس $o(aN)=1$ . در نتیجه $aN$ عنصر همانی گروه خارج قسمتی $ \frac{G}{N} $ است . پس $aN=N$ . درنتیجه $a \in N$ و اثبات تمام است .


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...