اگر $G$ گروهی متناهی و $N\unlhd G$ و $H\leq G$ و دو عدد $|G\colon N|$ و $|H|$ نسبت به هم اول باشند، ثابت کنید که $H\leq N$.

Question

فرض کنید که $G$ گروهی متناهی و $N$ یک زیرگروه نرمال از آن باشد. اگر $H$ زیرگروه دیگری از $G$ باشد که $|G\colon N|$ و $|H|$ نسبت به هم اول باشند، آنگاه ثابت کنید که $H\leq N$، یعنی $H$ زیرگروهی از $N$ نیز است.

Answer 1

فرض کنید $a \in H$ نشان می دهیم $a \in N$ . از آنجا که $H \leq G$ پس $a \in G$ بنابراین $aN \in \frac{G}{N} $ . طبق قضیه لاگرانژ $o(aN) | \ | \frac{G}{N} | $ . از طرفی چون $a \in H$ پس $ a^{ | H | } = e $ بنابراین $(aN)^{ | H | }=a^{ | H | }N=eN=N$ . پس $o(aN)| \ | H |$ . در نتیجه $o(aN) | (| H | , | \frac{G}{N} |)$ . چون $(| H | , | \frac{G}{N} |) = 1 $ . پس $o(aN)=1$ . در نتیجه $aN$ عنصر همانی گروه خارج قسمتی $ \frac{G}{N} $ است . پس $aN=N$ . درنتیجه $a \in N$ و اثبات تمام است .