به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,351 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ali.alisoleiman (11 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

چرا اگر در یک گزارهٔ شرطی فرض صحیح نباشد، کل گزارهٔ شرطی صحیح است؟ اگر تناقض را فرض بگیریم (که در برهان خلف چنین کاری می‌کنیم) آیا می‌توان هر نتیجه‌ای گرفت؟

توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
+4
فرض غلط با این که فرض می کنیم حکم بر قرار نباشد فرق می کنه. فرض غلط یعنی گزاره (نما) نادرست مانند مربع عدد، منفی است یا 2بزرگتر از 3 است یا.... از این گزاره‌های نادرست هر حکمی می توان نتیجه گرفت.
اما در برهان خلف حکم بر قرار نباشد  به این معنی نیست که گزار نما نادرست است بلکه حکم برای نقیضش درست است یعنی با یه عبارت درست(نقیض حکم) سرکار داریم.

5 پاسخ

+3 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,100 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

درست بودن یک گزارۀ شرطی، لزوماً به معنای درست بودن حکم آن نیست. گزارۀ شرطی $q$ $ \rightarrow $ $p$ به این معنا است که اگر $p$ اتفاق بیفتد (یعنی درست باشد)، آنگاه $q$ نیز حتماً باید اتفاق بیفتد (یعنی درست باشد). پس اگر $p$ اتفاق بیفتد ولی $q$ اتفاق نیفتد، کل گزارۀ شرطی $q$$ \rightarrow $$p$ نادرست است. حال فرض کنید که $p$ اتفاق نیفتاده باشد، یعنی دروغ (نادرست) باشد، پس $q$ چه درست باشد چه دروغ، فرقی نمی‌کند و گزارۀ شرطی $q$ $ \rightarrow$ $p$ درست است.

با یک مثال می‌توانیم درک بهتری پیدا کنیم:

فرض کنید که من یک برنامه برای فردا می‌چینم و می‌گویم که اگر فردا هوا آفتابی باشد، من به پارک خواهم رفت.

این یک گزارۀ شرطی است. فرض آن، آفتابی بودن هوا ($p$) و حکم آن، به پارک رفتن ($q$) است. اگر فردا هوا آفتابی باشد (راست بودن $p$) و من به پارک بروم (راست بودن $q$)، پس راست گفته بودم؛ چون به حرفم عمل کردم و این یعنی راست بودن گزارۀ شرطی من ($q$ $ \rightarrow $ $p$). ولی اگر هوا آفتابی باشد (راست بودن $p$) و من به پارک نروم (دروغ بودن $q$) یعنی دروغ گفته‌ام و گزارۀ شرطی من ($q$ $ \rightarrow $ $p$) دروغ است؛ چون به وعده‌ای که دادم عمل نکردم. اما اگر فردا هوا آفتابی نباشد (نادرست بودن فرض)، گزارۀ شرطی من، به انتفاء مقدم درست است؛ زیرا من چه به پارک بروم و چه به پارک نروم، فرقی نمی‌کند و من دروغی نگفته‌ام. در واقع شرط آفتابی بودن هوا برای رفتن به پارک، یک شرط لازم است و نه شرط کافی. یعنی نباید حتماً هوا آفتابی باشد تا من به پارک بروم. ولی اگر هوا آفتابی باشد، حتماً باید به پارک بروم تا حرف من درست باشد و اگر آفتابی نباشد، به اختیار خودم است که بروم یا نروم.

+1 امتیاز
توسط

در یک گزارهٔ شرطی، ما عبارتی به شکل "اگر $P$، آنگاه $Q$" داریم. برای درک اینکه چرا اگر مقدم ($P$) نادرست باشد، کل گزاره درست است، بهتر است به مفهوم درونی این نوع گزاره‌ها و رابطه‌ای که بین $P$ و $Q$ ایجاد می‌شود، توجه کنیم.

گزارهٔ شرطی "اگر $P$، آنگاه $Q$" را می‌توان به این شکل تفسیر کرد که اگر شرط $P$ برقرار باشد، در این صورت شرط $Q$ نیز باید برقرار باشد. با این تفسیر، ما در واقع می‌گوییم که وجود $P$ منجر به وجود $Q$ می‌شود. اما این گزاره هیچ چیزی در مورد وضعیت $Q$ زمانی که $P$ نادرست است، بیان نمی‌کند.

برای توضیح بهتر، بیایید از یک مثال ساده استفاده کنیم:

اگر ($P$): "امروز باران ببارد".

آنگاه ($Q$): "خیابان‌ها خیس خواهند بود".

حال اگر مقدم ($P$) نادرست باشد، یعنی "امروز باران نمی‌بارد"، آیا این گزاره شرطی کلّاً نادرست است؟ خیر. در این صورت، ما فقط می‌توانیم بگوییم که شرط $P$ برقرار نیست و از آن‌جا که شرط اصلی (باران) رخ نداده‌است، گزارهٔ شرطی همچنان درست است. به عبارت دیگر، وقوع $P$ به $Q$ منجر می‌شود، اما عدم وقوع $P$ هیچ اطلاعاتی در مورد وضعیت $Q$ نمی‌دهد.

به همین دلیل، در یک گزارهٔ شرطی، اگر مقدم نادرست باشد، کل گزاره درست محسوب می‌شود.

+1 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط UnknownUser

معنای گزارهٔ شرطیِ (Logical implication) $p\Rightarrow q$ در واقع این است که حالتی وجود ندارد که در آن $p$ درست و $q$ نادرست باشد. در واقع تنها ادعای گزاره به‌لحاظ منطقی همین است و گزاره باید بر اساس ادعایش تعیین ارزش شود. پس فقط در حالتی که $p$ درست و $q$ نادرست باشد، گزاره نادرست و در بقیهٔ حالت‌ها گزاره دارای ارزش درست است.

$$\begin{array}{c|c|c} p & q & p\Rightarrow q \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{T} \end{array}$$
0 امتیاز
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)

به نام خدا

رابط $\rightarrow$ یا $\Rightarrow$، با قرار گرفتن بین دو گزارۀ $p$ و $q$، گزارۀ مرکب $p\rightarrow q$ را می‌سازد که معمولاً به آن گزارۀ شرطی یا استلزام مادی می‌گویند و جدول ارزشش به‌صورت زیر تعریف شده‌است:

$$ \begin{array}{c|c|c} p & q & p\to q \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{T} \end{array} $$

شاید برایتان سؤال شود که انگیزۀ این تعریف چیست و چرا گزارۀ شرطی را اینگونه تعریف کرده‌اند. اگر گزارۀ $p\rightarrow q$ را به معنای «اگر $p$ درست باشد، آنگاه $q$ نیز درست است» یا «درستی $p$، مستلزم درستی $q$ است» در نظر بگیریم، به‌نظرتان چه زمانی است گزاره درست و چه زمانی نادرست است؟ این گزاره در واقع ادعا می‌کند که هرگاه $p$ درست باشد، آنگاه $q$ نیز درست است، پس اگر $p$ و $q$ هر دو درست باشند، مطابقِ ادعای این گزاره است و در نتیجه گزاره دارای ارزش درست می‌شود ولی اگر حالتی وجود داشته باشد که $p$ درست باشد ولی $q$ نادرست باشد، با ادعای گزاره تناقض ایجاد می‌شود پس گزاره در این حالت نادرست است. در زبان محاوره‌ای گزارۀ شرطی به همین معنا است و لذا در نظر گرفتن حالتی که $p$ نادرست است، ضروری نیست.

با این حال، منطق‌دانان در هر یک از چهار حالت از احتمالات منطقی، ارزش گزارۀ $p\rightarrow q$ را تعریف کرده‌اند و در حالتی که $p$ نادرست باشد، گزاره دارای ارزش درست می‌باشد و به آن «درستی به انتفای مقدم» می‌گویند.

$$ \begin{array}{c|c|c} p & q & p\to q \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \text{F} & \text{T} & \color{red}{\text{T}} \\ \hline \text{F} & \text{F} & \color{red}{\text{T}} \end{array} $$

شاید برایتان سؤال شود که چرا در صورت نادرستیِ $p$، گزاره را درست تعریف کرده‌اند و علت درستی به انتفای مقدم چیست. برای پاسخ به این پرسش، ابتدا مفهوم انتفای مقدم را در مجموعۀ تهی و سور عمومی بیان می‌کنیم و سپس به همان طریق، تعریفی با سور عمومی برای $p\rightarrow q$ انجام می‌دهیم و انتفای مقدم را در گزارۀ شرطی به‌طور دقیق توضیح می‌دهیم.

گزارۀ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \require{amssymb} \forall x\in\varnothing; P(x) $$

می‌دانیم که در یک گزارۀ سور عمومی، اگر مجموعه‌جواب گزاره‌نما با دامنۀ متغیر برابر باشد ($S = D$)، آنگاه گزاره دارای ارزش درست و در غیر این‌صورت دارای ارزش نادرست است. در گزارۀ بالا، چون $\require{amssymb}x\in\varnothing$، پس واضح است که دامنۀ متغیر مجموعۀ تهی $\require{amssymb}\varnothing$ و مجموعه‌جواب $\require{amssymb}\{x\in\varnothing\mid P(x)\}$ می‌باشد و این دو مجموعه با هم برابرند.

$$\require{amssymb}\{x\in\varnothing\mid P(x)\} = \varnothing\Longrightarrow S = D$$

بنابراین، گزارۀ $ \require{amssymb} \forall x\in\varnothing; P(x) $ دارای ارزش درست است. نتیجه‌ای که می‌شود گرفت این است که هر گزاره‌ای که در مورد یک مجموعۀ تهی بیان شود، درست است و به این نیز درستی به انتفای مقدم می‌گویند.

می‌توانیم در حالت کلی گزارۀ $p\rightarrow q$ را با سور عمومی به شکل زیر نمایش دهیم:

$$\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})$$

که یعنی «هرگاه $p$ دارای ارزش درست باشد، $q$ دارای ارزش درست است». فرض کنید که چنین است و هرگاه که $p$ درست باشد، $q$ نیز درست است. بنابراین در این حالت، گزارۀ $\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})$ در حالتی که $p$ درست باشد، دارای ارزش درست می‌باشد. اکنون نقیض این گزاره را در نظر بگیرید:

$$\color{black}{\neg\big(\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})\big)}\equiv\color{black}{\big(\exists p\equiv\text{T}; \neg(q\equiv\text{T})\big)}\equiv\color{black}{\big(\exists p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{F})\big)}$$

نقیض این گزاره، بیان می‌کند که حالتی وجود دارد که $p$ درست و $q$ نادرست است. ما فرض کرده بودیم که هرگاه که $p$ درست باشد، $q$ نیز درست است. نقیض گزاره در تناقض با فرض ماست. پس نقیض گزاره نمی‌تواند درست باشد؛ در نتیجه خودِ گزارۀ اصلی یعنی $\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})$ همواره درست است؛ پس اگر $p$ نادرست باشد نیز درست است. در واقع نتیجه‌ای که می‌توانیم بگیریم، این است که گزارۀ $p\rightarrow q$ در حقیقت مدعی این است که حالتی وجود ندارد که $p$ درست و $q$ نادرست باشد و ادعای دیگری ندارد. در نتیجه به‌جز حالتِ درست بودنِ $p$ و نادرست بودنِ $q$، در بقیۀ حالت‌ها گزاره درست است.

0 امتیاز
توسط mehrad moharrery (1 امتیاز)

زیرا در حالتی که فرض غلط باشد تالی یا درست است یا غلط اگر درست باشد طبق اصولی که در ریاضی داریم می توانیم از غلط به درست نتیجه گیری کنیم. مثال) می دانیم
-2=2 عبارتی نادرست است اما اگر طرفین را به توان دو برسانیم: 4=4 تبدیل به عبارتی درست می شود پس می توانیم از نادرست درست نتیجه بگیریم اگر تالی نادرست باشد نیز می توانیم از نادرست نادرست نتیجه بگیریم فرض کنیم مقدم ما به صورت زیر باشد که یک عبارت نادرست است: 5=6 اگر طرفین را به توان دو برسانیم برابر می شود با: 36=25 بنابراین دیدیم که می توانیم از نادرست نادرست نتیجه بگیریم پس اگر مقدم نادرست باشد طبق دو حالتی که بررسی کردیم عبارت شرطی درست است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...