به نام خدا.
اثبات آقای دکتر @AmirHosein خیلی راحت تر از راهی است که در ادامه می آورم.
قضیه ای وجود دارد که بیان می کند:
$(a_1 , a_{2} , a_{3}, ..., a_n)= ((a_1 , a_{2} , ..., a_{n-1}), a_n)$
اکنون از استقرا کمک می گیریم. واضح است که برای $n=2$ حکم برقرار است. حال فرض می کنیم که برای $n=k$ هم برقرار باشد یعنی
$(a_1, a_2, ..., a_k)=1$
. اکنون نشان می دهیم که برای $n=k+1$ نیز درست است:
$ (a_{1} , a_{2}, ..., a_{k}, a_{k+1})= ((a_{1}, a_2, ..., a_k) ,a _{k+1})= (1, a_{k+1})=1 \Longrightarrow (a_{1} , a_2 ,..., a_{k+1})=1 $
پس حکم ثابت شد.
