ثابت کنید :اگر p یک عدد اول بزرگ تر از 5 باشد آنگاه : $p^{4} =240k+1$

Question

ثابت کنید :

1)اگر p یک عدد اول بزرگ تر از 3 باشد آنگاه : $p^{2}=24k+1$

2) اگر p یک عدد اول بزرگ تر از 5 باشد آنگاه : $p^{4} =240k+1$

تلاش خودم :

شماره 1:

$p=2k+1 \Rightarrow p^{2} =8k+1 \Rightarrow 3p^{2}=24k+3 \Rightarrow 24 | 3p^{2}-3 \Rightarrow 24 | 15 p^{2}-15$

و

$p=3k \pm 1 \Rightarrow p^{2}=3k+1 \Rightarrow 8 p^{2}=24k+8 \Rightarrow 24 | 8 p^{2}-8 \Rightarrow 24 | 16 p^{2}-16$

از این دو نتیجه میگیریم که: $24 | p^{2}-1 \Rightarrow p^{2}=24k+1$

دومی رو نتونستم

Answer 1

تمرین خیلی جالبی است چون قسمت (ب) هم از همان روش قسمت (الف) استفاده می‌کند پس دانش‌آموز شانس تمرین چیزی که در قسمت نخست می‌بیند را پیدا می‌کند فقط باید صبور باشد و کمی بیشتر بنویسد. این بار ۳ گام یکسان دارید. توجه کنید که $240=2^4\times 3\times 5$.

1. چون $p$ عدد اول بزرگتر از ۲ است پس در پیمانهٔ ۴ یا ۱ یا ۳ که همان با منفی یک یکسان است می‌شود. پس $p=4k\pm 1$ و داریم

$$\begin{array}{l} p^4=256k^4\pm 256k^3+96k^2\pm 16k+1=16(16k^4\pm 16 k^3+6k^2\pm k)+1\\ \Longrightarrow p^4=16k'+1\\ \Longrightarrow 15p^4=240k'+15\\ \Longrightarrow 240\mid 15p^4-15 \end{array}$$

2. چون $p$ عدد اول بزرگتر از ۳ است پس در پیمانهٔ ۳ یا ۱ یا ۲ که همان با منفی یک یکسان است می‌شود. پس $p=3k\pm 1$ و داریم

$$\begin{array}{l} p^4=(3k)^4\pm 4(3k)^3+6(3k)^2\pm 4(3k)+1=3(3^3k^4\pm (4\times 3^2) k^3+(6\times 3)k^2\pm 4k)+1\\ \Longrightarrow p^4=3k'+1\\ \Longrightarrow 80p^4=3k'+80\\ \Longrightarrow 240\mid 80p^4-80 \end{array}$$

3. چون $p$ عدد اول بزرگتر از ۵ است پس در پیمانهٔ ۵ یا ۱ یا ۲ یا ۳ یا ۴ که با مثبت-منفی یک و دو یکسان اند می‌شود. پس $p=5k\pm r$ که $r$ یکی از عددهای ۱ تا ۴ است. داریم

$$\begin{array}{l} p^4=(5k)^4\pm 4(5k)^3+6(5k)^2\pm 4(5k)+r^5=5(5^3k^4\pm (4\times 5^2) k^3+(6\times 5)k^2\pm 4k)+r^4\\ \Longrightarrow p^4=5k'+r^4 \end{array}$$

توجه کنید که $r^4$ یکی از عددهای $1$ یا $16$ یا $81$ یا $256$ می‌شود که همگی به پیمانهٔ ۵ می‌شوند ۱. پس داریم

$$\begin{array}{l} \Longrightarrow p^4=5k''+1\\ \Longrightarrow 48p^4=5k''+58\\ \Longrightarrow 240\mid 48p^4-48 \end{array}$$

پس تا اینجا ثابت کردیم که

$$\left.\begin{array}{l} 240\mid 15(p^4-1)\\ 240\mid 80(p^4-1)\\ 240\mid 48(p^4-1) \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow 240\mid {\rm g.c.d}\big(15(p^4-1),80(p^4-1),48(p^4-1)\big)$$ $$\begin{align} {\rm g.c.d}\big(15(p^4-1),80(p^4-1),48(p^4-1)\big) &= \big({\rm g.c.d}(15,80,48)\big)(p^4-1)\\ &= (1)(p^4-1)\\ &= p^4-1 \end{align}$$

در نتیجه $240\mid p^4-1$ که با نوشته‌شدنِ $p^4$ به شکل $240k+1$ برای عدد طبیعی $k$ای هم‌ارز است. و شرط لازمش این است که $p$ عدد اولی باشد که از هر سه عدد ۲ و ۳ و ۵ بزرگتر باشد که با گفتن فقط از ۵ بزرگتر باشد یکسان است.