آیا اگر $x$ را عددی برداریم که به شکل $3n+1$ و $5n+2$ و $7n+3$ و $9n+4$ و $11n+5$ و $13n+6$ نوشته نشود، عددِ $2x+1$ اول می شود؟

Question

فرض کنید دنباله‌هایی با جمله‌های عمومی $3n+1$ و $5n+2$ و $7n+3$ و $9n+4$ و $11n+5$ و $13n+6$ داریم. همچنین فرض کنید $x$ عددی طبیعی و خارج از این دنباله‌ها باشد. آیا $2x+1$ همواره اول است؟

Comments

@Under_sky کجا این ادعا را دیده‌اید؟ $x=۱۲$ را بردارید به شکل $3n+1$ نوشته نمی‌شود ولی $2x+1$ برابر با ۲۵ می‌شود که اول نیست. پس ادعایتان اشتباه است.

---

ممنون. حق باشماست، سوال نیاز به ویرایش داشت.

---

مثالx=12 مناسب نمی باشه چون بیان شده که x عدد طبیعی و خارج از همه دنباله های بالا باید باشه در حالی که x به صورت  5n+2  می باشه.

---

برای xهای که در شرایط صدق می کنند مثلا 8 و9 و11 و 14و... واقعا 2x+1 عدد اول می باشه واقعا سوال جالبی می باشه و مهمتر از آن راه حلی به جز برهان خلف بنظرم نمی رسه با اینحال  ارتباط دادنش به مفروض نمی دانم. به نظر یکی از سوالات خیلی عالی می باشه حقش بیش از یک امتیاز دادن می باشه ولی امکان نداره.

---

@amir7788 مثال نقض $x=12$ برای صورتِ پرسش پیش از ویرایش بوده‌است. به تاریخ دیدگاه و تاریخ ویرایش و همینطور دیدگاه بعدی توسط @Under_sky توجه کنید.

Answer 1

احتمالا از کتاب یا مقاله یا جای خاصی این را ندیده‌اید بلکه در حال ساختن حدس هستید. در اینصورت در متن پرسش ذکر کنید که پرسش از مرجع خاصی نیست و حدس زده‌اید. به هر حال. متن اولیهٔ پرسش‌تان تنها $3n+1$ را اشاره می‌کرد که خیلی ساده ۱۲ مثال‌نقضِ آن بود. سپس $5n+2$ و $7n+3$ و $9n+4$ و $11n+5$ و $13n+6$ را افزودید. باز هم حدس‌تان نادرست است.

مثالِ نقض: ۱۴۴.

توجه کنید که باقیماندهٔ تقسیم ۱۴۴ بر ۳ و ۵ و ۷ و ۹ و ۱۱ و ۱۳ به ترتیب برابر است با ۰ و ۴ و ۴ و ۰ و ۱ و ۱. پس $x=144$ در شرط گزاره‌تان صدق می‌کند و به هیچ یک از شکل‌های اشاره شده نوشته نمی‌شود. اما $2x+1=289=(17)^2$ است که عددی نااول (مرکب) است. پس گزاره‌تان رَد می‌شود.

Comments

سوال حدسی نبوده و صحیح است، فقط کامل نوشته نشده. جمله عمومی دنباله ها از 3n+1 شروع شده،  سپس 5n+2  و 7n+3 و...  همین طور ادامه پیدا میکنن. حال اگر عددی که در هیچ کدوم از دنباله ها ظاهر نشده رو در نظر بگیریم و دوبرابر کنیم و با یک جمع کنیم، عددی اول خواهد بود.
عدد۱۴۴ که شما گفتید در دنباله 17n+8 ظاهر شده، پس حرفتان رد میشود.
مثلا اعداد 1,2,3,5,6,8,9,11,14 در دنباله ها ظاهر نمیشن و بوضوح دوبرابرشون به اضافه یک عددی اول هست.

---

@Javad79 صورت اولیهٔ پرسش در تاریخچهٔ ویرایش‌های پرسش موجود و صورت کنونیِ پرسش نیز در بالا دیده می‌شود. چیزی که شما نوشتید اول اینکه ناقص است، احتمالا منظورتان $(2k+1)n+k$ها برای هر kیِ طبیعی است (نوشتن سه‌نقطه به تنهایی به شما یک الگو نمی‌دهد، الگو باید به طور یکتا مشخص شود مانند کاری که من در این دیدگاه با کمک $k$ که یک متغیر جدید است انجام دادم). پس با فرض اینکه منظورتان این باشد، در حال صحبت از صورت جدیدی هستید نه صورت قدیمی یا صورت فعلی پرسشِ آمده در این پست.
و اما «برای هر فلان عضو فلان مجموعه درست است» را با نگاه کردن به چند مثال از اعضای این مجموعه ثابت نمی‌کنند. شما ۹ عضو را گفته‌اید دوبرابر بعلاوهٔ یک‌شان اول می‌شود، اگر مجموعه‌تان فقط این ۹ عضو را داشت، آنگاه اثبات انجام داده‌بودید.
اگر اثباتی برای درستی دارید، به اثبات اشاره کنید نه چند عدد مثال. اگر اثباتی ندارید، پس نمی‌دانید که آیا درست است یا خیر. بعلاوه اگر منظورتان از جملهٔ آغازین دیدگاه‌تان این است که این پرسش در مرجعی نوشته‌شده‌است، آنگاه خوشحال می‌شویم که مشخصات کتاب یا مقاله‌ای که در آن آورده‌شده را اشاره کنید.

---

اگر دقت میکردید مثال زدم برای فهم صورت مساله و اثبات نادرستی مطلب شما، نگفتم اثبات کردم.
در ضمن سوال مربوط به کتاب ریاضیات تکمیلی پایه هشتم هست(فصل دوم)
در ثانی حتما اثبات کردم که اینجا نظر دادم. موقعش اثباتش را قرار میدهم.
الان که صورت جدید مساله را متوجه شدید، بجای توجیه پاسخ قبلی تان در پی پاسخی جدید باشید.

---

@Javad79 پاسخ گذاشته شده برای صورت گذاشته شده در پست است، پس مثال شما یک مثال نقض برای این پاسخ شمرده نمی‌شود.