ثابت کنید که بینهایت عدد اول به شکل $8k + 3$ وجود دارد و بینهایت عدد اول به شکل $8k + 5$ وجود دارد

Question

ثابت کنید که بی‌نهایت عدد اول به شکل $8k + 3$ وجود دارد، بی‌نهایت عدد اول به شکل $8k + 5$ وجود دارد و بی‌نهایت عدد اول به شکل $8k + 1$ وجود دارد.

Comments

@alitk متن پرسش را از نو بخوانید، نوشته‌اند «بینهایت عدد اول به آن شکل وجود دارد» نه اینکه «هر عدد به آن شکل، عددی اول است». پس پاسخ شما اشتباه است.

توجه کنید که نامتناهی عدد اول فرد داریم یعنی به شکل $2k+1$، اینکه برای $k=4$ داشته باشیم $2k+1=9$ عدد اولی نیست، مثال نقض نمی‌شود! چون نگفته‌ایم که «هر عدد به شکل $2k+1$ اول است»، این جمله هم‌معنای جملهٔ «بینهایت عدد اول به شکلِ $2k+1$ هستند» نیست!

---

میشه اینطور استدلال کرد که هر عدد را طبق الگوریتم تقسیم می‌توان بصورت 8k+1 یا 8k+2 یا....یا 8k+7 نوشت.... از آنجا که تعداد بینهایت است... و همچنین اعدادی بفرم 8k+2....8k+4....8k+6 بدلیل زوج بودن نمی توانند اول باشند(بغیر از 2 که به فرم 8k+2 است) پس بی نهایت عدد به فرم های 8k+3... 8k+5.....8k+7 هستند

---

@ramtin666  شما تنها ثابت کردید که اجتماع مجموعه‌های اعداد به شکل $8k+i$ برای $i=1,3,5,7$ نامتناهی است، در حالیکه متن پرسش می‌گوید ثابت کنید تک تک این مجموعه‌ها به تنهایی برای $i=1,3,5$ نامتناهی هستند.

---

اعداد اول رو به صورت زیر افراز میکنیم:
1)p=8k
2)p=8k+1
3)p=8k+2
4)p=8k+3
5)p=8k+4
6)p=8k+5
7)p=8k+6
8)p=8k+7
حالات 1 و 3 و 5 و 7 پی زوج است و تنها یک عدد اول زوج داریم پس نمی‌توان بیشمار عدد اول را به این حالات نوشت پس فقط حالات 2 و 4 و 6 و 8 باقی میماند و میتوان بیشمار عدد اول به این حالات نوشت

---

@Negar پرسش می‌گوید هر یک از سه دستهٔ ۲ و ۴ و ۶ شما جداگانه بی‌شمار عدد اول را شامل می‌شود نه اینکه اجتماع دسته‌های ۲ و ۴ و ۶ و ۸ شما با همدیگر بینهایت عدد اول را در بر خواهند داشت.