Question

ثابت کنید که اگر $1+2^n+4^n$ عددی اول باشد، آنگاه عددی صحیح مانند $k$ وجود دارد به‌طوری که $n=3^k$.

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Answer 1

جواب کامل نیست ولی شاید کمکتون کنه . (اگر به جای $3^k$ , $3k$ باشه جواب درسته)

اگر $1+2^n+4^n=p$ باشد میتوان نوشت : $(2^n-2)(2^n+3)=p-7$

اگر $n=1$ باشد پس برابر $3^0$ است پس حکم برقرار است در غیر این صورت باقیمانده تقسیم $2^n$ بر $7$ یکی از اعداد $2,4,1$ خواهد بود . اگر دو یا چهار باشد سمت چپ تساوی بر 7 بخشپذیر است پس سمت راست نیز بر 7 بخش پذیر است . که خلاف اول بودن $p$ است (چون $n>1$ پس $p>7$)

پس باقی مانده $2^n$ بر 7 برابر 1 است . که نتیجه میشود $2^n=8^x$ پس $n=3y$ که $y$ عدد طبیعی است .

Comments

ببخشید ایا این جور سوالات ایده ی کلی دارن؟

---

معولا باید ثابت کرد اگر خلاف گفته مسئله باشه $p$ بر عددی بخش پذیره و اول نیست .
من همیشه اول ، چند عدد به جای $n$ میذارم و جوابشو بدست میارم . اگه جواب عدد اول نبود عددی که بر اون بخشپذیره رو بدست میارم . معمولا باقی اون هایی هم که عدد اول نیستند بر همون بخشپذیرند .