بعد از تجزیه به عاملهای اول هر عدد طبیعی $n$ را می توان به صورت $n= 3^{k} m$ نوشت که در آن $k \succeq 0$ و $m$ مضرب نیست.در واقع $k$ بزرگترین عدد حسابی با این خاصیت است.
حالا به اتحاد زیر توجه کنید:
$ 4^{n} + 2^{n} +1= 2^{2n} + 2^{n} +1= 2^{ 2^{k} (2m)} + 2^{ 2^{k} m} +1$
$=(2^{2 \times 3^{k} } + 2^{ 3^{k} } +1)( 2^{ 3^{k} (2m-2)}- 2^{ 3^{k} (2m-3)}+2^{3^k(2m-5)}...- 2^{ 3^{k}(2m-(2m-1)) } +1)$
(توجه شود که در پرانتز سمت راست اتحاد ضریب $ 3^{k} $ جمله اول و آخر مشخصه و برای بقیه جملات به صورت:
$2m-3 , 2m-5 , ... ,2m-(2m-1)$
است که دنباله $m-1$ جمله دارد.پس کل پرانتز $m+1$ جمله دارد).
حالا بنابه فرض گزاره چون $ 4^{n} + 2^{n} +1$ اول است پس باید یکی از پرانتزها $1$ باشد.چون $2^{2 \times 3^{k} } + 2^{ 3^{k} } +1 \succ 1$ پس پرانتز دوم باید $1$ بشد:
$ 2^{ 3^{k} (2m-2)}- 2^{ 3^{k} (2m-4)}+...- 2^{ 3^{k} } +1=1 \Rightarrow 2m-2=0 \Rightarrow m=1 \Rightarrow n= 3^{k}$
در واقع پرانتز دوم فقط یک جمله دارد و آن هم $1$ است.
$ \Box $