به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
107 بازدید
در دانشگاه توسط m722
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید که به ازای هر عدد صحیح $1 \leq k$، $k$ عددی صحیح متوالی وجود دارد که بر مربعهای اعداد بزرگتر از 1بخشپذیرند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط farhad

مسأله را در حالت کلی تری بیان می کنیم. نشان می دهیم که به ازای هر عدد صحیح $\,k \geq 1\,$ ،$k$ عدد صحیح متوالی وجود دارد که بر $k$ عدد صحیح مفروض و دو به دو متباین $\, a_{1}, a_{2},...,a_{k}\,$ بخشپذیرند. به عبارتی عدد صحیح $\,n\,$ وجود دارد به قسمی که: $$ \begin{cases} n+1 \equiv0\,\,\,\,(mod\,a_{1})\\ n+2 \equiv0\,\,\,\,(mod\,a_{2})\\ \vdots\\ n+k \equiv0\,\,\,\,(mod\,a_{k})\end{cases} $$ پس $n$ وجود دارد اگر و تنها اگر دستگاه معادلاتی بالا جواب داشته باشد. اما طبق قضیه باقیمانده چینی چون برای هر $\,i=1,2,...,k\,$ ، $ a_{i} $ها دو به دو متباینند پس این دستگاه دقیقاً یک جواب به هنگ $\, a_{1}a_{2}...a_{k} $ دارد. بنابراین وجود نه تنها یک بلکه بی نهایت $n$ تضمین می شود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...