نشان دهید که تعداد کسرهای تحویل ناپذیر $\frac{a}{b}$ که $0<\frac{a}{b}\leq 1$ و $1\leq a,b\leq n$ برابر است با $\sum_{i=1}^n\varphi(i)$.

Question

بفرض $n$ یک عدد طبیعی دلخواه باشد. نشان دهید که تعداد کسرهای تحویل‌ناپذیر $\frac{a}{b}$ که $0 < \frac{a}{b}\leq 1$ و $1\leq a,b\leq n$، برابر است با:

$$ \varphi(1) + \varphi(2) +...+ \varphi(n) $$

Comments

منفی برای عنوان نامناسب و ننوشتن تلاشتون برای حل

Answer 1

کسر $0 < \frac{a}{b} \leq 1$ زمانی تحویل ناپذیر است که $1 \leq a \leq b$ و $gcd(a,\ b)=1$ یعنی $ a,b $ نسبت به هم اول باشند . حال فرض کنید $b$ عددی ثابت است که $1 \leq b \leq n$ . تعداد اعداد طبیعی $a$ که $a \leq b$ و $ gcd(a,\ b)=1 $ برابر است با $ \varphi (b)$ . پس تعداد کسر های تحویل ناپذیر $\frac{a}{b}$ که $0 < \frac{a}{b} \leq 1$ برابر است با $ \varphi (b)$ . حال چون $1 \leq b \leq n$ در نتیجه تعداد چنین کسرهایی طبق اصل جمع برابر است با : $$\varphi(1) + \varphi(2) +...+ \varphi(n)$$