نشان دهید:$ | E(x) | \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}. \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}} $

Question

نشان دهید اگر نقاط گره ریشه های چند جمله ای چبیشف $T_{n+1}(x)$ انتخاب شوند و $M_{n+1}= \| f^{n+1}(x) \| _ \infty $ که $x \epsilon [a,b]$,آنگاه :

$$ | E(x) | \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}. \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}} $$

Comments

@wahedmohammadi
عذر میخوام من این قسمت رو متوجه نشدم,میشه بیشتر توضیح بدین؟؟؟
حال اگر $y \in [a,b]$ باشد و $x \in [-1 , 1]$ ؛ آن‌گاه می‌توان توسط $ y=(\frac{b-a}{2})x + (\frac{b+a}{2})$ آن‌ها را به هم ارتباط داد پس با این ارتباط می‌توان گفت که به ازای هر $i=0,1, \ldots ,n$ در رابطه $(*)$به جای  $(y-y_i)$ مقدار $((\frac{b-a}{2})(x-x_i))$ را قرار داد

---

@رها
خب با فرض  $ y=(\frac{b-a}{2})x + (\frac{b+a}{2})$ آن‌گاه برای هر $i$ یک $x_i$ وجود دارد که $ y_i=(\frac{b-a}{2})x_i + (\frac{b+a}{2})$ پس با این حال با تشکیل $y-y_i$ داریم که:
 $ y-y_i=(\frac{b-a}{2})x+ (\frac{b+a}{2})-((\frac{b-a}{2})x_i + (\frac{b+a}{2})) \quad$
$= (\frac{b-a}{2})(x) - (\frac{b-a}{2})(x_i) = (\frac{b-a}{2})(x-x_i)$

---

@wahedmohammadi
بسیار عالی.سپاسگزارم

---

بهتر بود این بحث رو زیر پاسخ آقای محمدی می نوشتید.

---

بله حق با شماست.

Answer 1

قضیه:

اگر $p(y)$ چندجمله ای درون‌یاب تابع $f(y)$ روی بازه $[a,b]$ باشد آن‌گاه رابطه زیر را داریم: $ |E(y)= f(y)-p(y)| \leqslant |(y-y_0) \ldots (y-y_n)| \times \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} \quad (*)$

که در آن $M_{n+1}$ یک کران بالا برای $f^{(n+1)} (y)$ بر بازه $[y_0,y_n]$ می‌باشد.

حال اگر $y \in [a,b]$ باشد و $x \in [-1 , 1]$ ؛ آن‌گاه می‌توان توسط $ y=(\frac{b-a}{2})x + (\frac{b+a}{2})$ آن‌ها را به هم ارتباط داد پس با این ارتباط می‌توان گفت که به ازای هر $i=0,1, \ldots ,n$ در رابطه $(*)$به جای $(y-y_i)$ مقدار $((\frac{b-a}{2})(x-x_i))$ را قرار داد پس با جایگذاری همه جملات رابطه $(*)$ به شکل زیر در می‌آید

$ |E(x)| \leqslant |(\frac{b-a}{2})(x-x_0) \ldots (\frac{b-a}{2})(x-x_n)| \times \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} \qquad \ \ \quad $

$= |(x-x_0) \ldots (x-x_n)| \times (\frac{b-a}{2})^{(n+1)} \times \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} \quad (**)$

از طرفی می‌دانیم اگر $x_0,x_1,...,x_n$ صفرهای چندجمله ای چبیشف $T_{n+1}(x)$ باشند آن‌گاه

$max_{-1 \leqslant y \leqslant 1} |(x-x_0) \ldots (x-x_n)| \leqslant \frac{1}{2^n}$

حال با اعمال این حکم در رابطه $(**)$ نتیجه زیر حاصل می‌شود

$$ | E(x) | \leq \frac{M_n}{(n+1)!}. \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}} $$