به راحتی میتوان نشان داد که اگر $f$ تابعی باشد که برای هر $x$ در دامنهاش $f(x^+_- \pi )=f(x)$، آنگاه داریم:
$$ \int_0^ \infty \frac{sin^2x}{x^2} f(x)dx=\int_0^ \infty \frac{sinx}{x} f(x)dx= \int_0^ \frac{ \pi }{2} f(x)dx$$
خوب حالا داریم:
$$I_n=\int_0^ \infty \frac{sin^{2n-1}x}{x}dx=\int_0^ \infty \frac{sinx}{x}sin^{2n-2}xdx,sin^{2n-2}(x^+_-\pi)=sin^{2n-2}x$$
$$ \Rightarrow I_n=\int_0^ \frac{ \pi }{2} sin^{2n-2}xdx=\int_0^ \frac{ \pi }{2} sin^{2n-3}xd(-cosx)$$
$$=-sin^{2n-3}x.cosx|_{x=0}^{x= \frac{\pi}{2}}+(2n-3)\int_0^ \frac{ \pi }{2} sin^{2n-4}xcos^xdx$$
$$=0+(2n-3)\int_0^ \frac{ \pi }{2} sin^{2n-4}xcos^2xdx=(2n-3)\int_0^ \frac{ \pi }{2} sin^{2n-4}(1-sin^2x)dx$$
$$=(2n-3)I_{n-1}-(2n-3)I_n$$
$$ \Rightarrow (2n-2)I_n=(2n-3)I_{n-1} \Rightarrow I_n= \frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}$$
$$ \Rightarrow I_n= \frac{2n-3}{2n-2}. \frac{2n-5}{2n-4}.\frac{2n-7}{2n-6}... \frac{3}{4}. \frac{1}{2}I_1=\frac{2n-3}{2n-2}. \frac{2n-5}{2n-4}.\frac{2n-7}{2n-6}... \frac{3}{4}. \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$$
$$\frac{\pi}{2^{2n-1}} \binom{2n-2}{n-1}$$
$\Box$
