حل:
دامنۀ تابع $[0,+ \infty )$ است. حالا فرض کنید $n$ کوچکترین عدد حسابی باشد که $n^2 \leq A<(n+1)^2$.این عدد موجود و منحصر بفرد است.(چرا؟). حالا توجه کنید که اگر $0 \leq k \leq n-1$ و $k^2 \leq x<(k+1)^2$ آنگاه:
$k \leq \sqrt{x} <k+1 \Rightarrow [ \sqrt{x} ]=k \Rightarrow ${$\sqrt{x}$}$=x-[ \sqrt{x} ]=\sqrt{x}-k$
$ \Rightarrow \int_0^A${$ \sqrt{x} $}$ dx= \int_0^A\sqrt{x} -[ \sqrt{x}])dx= \int_0^A\sqrt{x}dx-\int_0^A[ \sqrt{x}])dx$
$$= \frac{2}{3} x \sqrt{x} |_0^A-\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k^2}^{(k+1)^2}[ \sqrt{x}]dx+\int_{n^2}^A[ \sqrt{x} ]dx$$
$$=\frac{2}{3}A\sqrt{A}-\sum_{k=0}^{n-1}(kx)|_{k^2}^{(k+1)^2}-(nx)|_{n^2}^A$$
$$=\frac{2}{3}A\sqrt{A}-\sum_{k=0}^{n-1}(k(k+1)^2-k^3)-nA+n^3$$
$$=\frac{2}{3}A\sqrt{A}-\sum_{k=0}^{n-1}(2k^2+k)-nA+n^3$$
$$=\frac{2}{3}A\sqrt{A}-2\sum_{k=0}^{n-1}k^2-\sum_{k=0}^{n-1}k-nA+n^3$$
$$=\frac{2}{3}A\sqrt{A}-2 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}- \frac{n(n-1)}{2}-nA+n^3$$
$$=\frac{2}{3}A\sqrt{A}- \frac{1}{6}n(n-1)(4n+1)-nA+n^3$$
$$=\frac{2}{3}(A\sqrt{A}-n^3)+ \frac{2}{3} n^3- \frac{1}{6}n(n-1)(4n+1)-n(A-n^2)$$
$$=-\frac{1}{6}n(4n^2-(n-1)(4n+1))+\frac{2}{3}(A\sqrt{A}-n^3)-n(A-n^2)$$
$$=-\frac{1}{6}n(4n^2-4n^2-3n-1)+\frac{2}{3}(A\sqrt{A}-n^3)-n(A-n^2)$$
$$= \frac{n(3n+1)}{6} +\frac{2}{3}(A\sqrt{A}-n^3)-n(A-n^2)$$
$ \Box $
