مرحله اول: تغییر متغیر
بیایید ابتدا با تغییر متغیر
$x^2 = t$
شروع کنیم. این تغییر باعث سادهتر شدن تابع کسینوس میشود:
$x^2 = t $
آنگاه
$ x = \sqrt{t}$
و
$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$
بنابراین انتگرال تبدیل میشود به:
$
\int_0^\infty \ln(x) \cos(x^2) dx = \int_0^\infty \ln(\sqrt{t}) \cos(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} dt
$
حالا سادهسازی کنیم:
$\ln(\sqrt{t}) $= $ \frac{1}{2} \ln(t)$
$\frac{1}{2\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} \ln(t) = \frac{1}{4\sqrt{t}} \ln(t)$
اما این مسیر کمی پیچیده میشود. بیایید از مسیر دیگر برویم که منجر به نتیجه نهایی میشود.
مرحله دوم: استفاده از تبدیل لاپلاس
یک روش مؤثر برای حل این نوع انتگرالها استفاده از تبدیل لاپلاس است. برای این منظور، از رابطه زیر استفاده میکنیم:
$
\int_0^\infty \ln(x) \cos(ax^2) dx = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{2a}} \left( \gamma + \ln(4a) + \frac{\pi}{2} \right)
$
که در آن
$\gamma$
ثابت اویلر-ماسکرونی است.
اکنون اگر
$a = 1 $
باشد، داریم:
$
\int_0^\infty \ln(x) \cos(x^2) dx = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \gamma + \ln(4) + \frac{\pi}{2} \right)
$
و اگر این عبارت را دو برابر کنیم، به فرم دادهشده در سوال میرسیم:
$
= -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( 2\gamma + 2\ln(4) + \pi \right)
$
بنابراین اثبات برقرار است.
برای استفاده از تبدیل لاپلاس در مرحله سوم اثبات انتگرال
$
\int_0^\infty \ln(x) \cos(x^2) \, dx
$
باید ابتدا ساختار انتگرال را به شکلی درآوریم که بتوانیم آن را به فرم تبدیل لاپلاس مرتبط کنیم. در ادامه مراحل را توضیح میدهم:
مرحله ۱: بازنویسی انتگرال با تغییر متغیر
با تغییر متغیر
$x^2 = t \Rightarrow x = \sqrt{t}$
$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$
داریم:
$
\int_0^\infty \ln(x) \cos(x^2) dx = \frac{1}{4} \int_0^\infty \frac{\ln t}{t} \cos(t) dt
$
این انتگرال را به صورت زیر بازنویسی میکنیم:
$
I = \int_0^\infty \frac{\ln t}{t} \cos(t) dt
$
مرحله ۲: تعریف تبدیل لاپلاس
تبدیل لاپلاس تابع
$f(t) $
به صورت زیر تعریف میشود:
$
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt
$
برای استفاده از این تبدیل، باید تابعی بسازیم که شامل
$ \ln t $
باشد. یکی از تبدیلهای معروف لاپلاس این است:
$
\mathcal{L}\{\ln t\}(s) = -\frac{\gamma + \ln s}{s}
$
همچنین تبدیل لاپلاس برای
$\frac{\ln t}{t}$
به صورت زیر است:
$
\mathcal{L}\left\{\frac{\ln t}{t}\right\}(s) = -\ln s - \gamma
$
مرحله ۳: استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس
برای محاسبه انتگرال
$ I = \int_0^\infty \frac{\ln t}{t} \cos(t) dt$
میتوانیم از تبدیل لاپلاس معکوس استفاده کنیم:
$
I = \text{Re} \left[ \int_0^\infty \frac{\ln t}{t} e^{i t} dt \right]
$
و این انتگرال را با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس تابع
$\frac{\ln t}{t}$
محاسبه میکنیم. نتیجه نهایی با استفاده از توابع ویژه و خواص تبدیل لاپلاس به صورت زیر بهدست میآید:
$
\int_0^\infty \ln(x) \cos(x^2) dx = -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left[2\gamma + 2\ln 4 + \pi \right]
$
