مطلوب است اثبات انتگرال معین زیر: $ \int _0^ \infty \frac{ x^{a} }{ a^{x} } dx=\frac{ \Gamma (a+1)}{ (lna)^{a+1} } $

Question

مطلوب است اثبات انتگرال معین زیر:

$\displaystyle \int _0^ \infty \frac{ x^{a} }{ a^{x} } dx=\frac{ \Gamma (a+1)}{ (\ln a)^{a+1} } $

Answer 1

داریم:

$I=\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{x^{a}}{a^{x}}dx=\int_{0}^{\infty }x^{a}e^{-\ln(a)x}$

با تغییر متغیر $\ln(a)x=u$ ، داریم:

$\displaystyle I=\int_{0}^{\infty }\left( \frac{u}{\ln(a)} \right)^{a}e^{-u}\frac{du}{\ln(a)}=\frac{1}{(\ln(a))^{a+1}}\int_{0}^{\infty }u^{a}e^{-u}du$

که انتگرال آخری با توجه به تعریف تابع گاما، همان $\Gamma(a+1)$ است.

Answer 2

ابتدا فرض کنید که $a>1 $ :

$$I(a):= \int_0^\infty \frac{x^a}{a^x}dx= \int_0^ \infty x^aa^{-x}dx= \int_0^ \infty x^ae^{-(lna)x}dx$$

حالا تغیر متغیر $t:=(lna)x$ را بکار بگیرید:

$$ \Rightarrow I(a)= \int_0^ \infty ( \frac{t}{lna} )^ae^{-t} \frac{dt}{lna}= \frac{1}{(lna)^{a+1}} \int_0^ \infty t^{a+1-1}e^{-t}dt=\frac{ \Gamma (a+1)}{(lna)^{a+1}}$$

در حین تغیر متغیر توجه کنید چون $a>1$ و لذا $lna>0$ پس بازه انتگرال جدید همان صفر تا مثبت بینهایت است. حالا اگر $0<a<1$ انتگرال را در حالت کلی بررسی می کنیم.

اگر $a>-1$ و $b>0$ آنگاه داریم:

$$ \lim_{x\to+ \infty }x^{a+1}e^{bx}=+ \infty $$

پس از جایی ( به اندازه کافی بزرگ ) به بعد داریم:

$$x^{a+1}e^{bx}>1 \Rightarrow x^ae^{bx}> \frac{1}{x} $$

حالا چون انتگرال سمت راست واگرا به مثبت بینهایت است انتگرال سمت چپ هم واگرا به مثبت بینهایت است. در اینجا داریم:

$$0<a<1 \Rightarrow a+1>0,-loga>0$$

$ \Box $