ابتدا فرض کنید $n=p$ که $p$ عددی اول است . داریم :
$$ \varphi (p)=p-1$$
در واقع تمام اعداد طبیعی کمتر از $p$ نسبت به $p$ اول هستند . حال داریم :
$$ \sum_{(a ,\ p)=1,\ a < p}a = 1+2+...+(p-1)=\frac{p(p-1)}{2}=\frac{1}{2}\ p\ \varphi (p)$$
پس حکم برای تمام اعداد اول درست است .
حال فرض کنید $p_{1},p_{2}$ دو عدد اول متمایز هستند و $n=p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}$ . حال داریم :
$$\begin{align} \varphi (n)&=n(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})\\
&=p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})\\
&= p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\\
\end{align} $$
حال عدد طبیعی $a$ نسبت به $n$ اول می باشد هرگاه $a$ نه مضرب $p_{1}$ باشد و نه مضرب $p_{2}$ . پس :
$$\begin{align}\sum_{(a,\ n)=1,\ a < n} a&=\sum_{a=1}^{n} a - \sum_{p_{1}|a,\ a < n} a -\sum_{p_{2}|a,\ a < n} a +\sum_{p_{1}p_{2}|n,\ a < n} a\ \ ( \star )\\
\end{align} $$
هر کدام از زیگماهای بالا را ابتدا جداگانه حساب می کنیم :
$$ \sum_{a=1}^{n} a =\frac{n(n+1)}{2}=\frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}+1)}{2}$$
$$\begin{align}\sum_{p_{1}|a,\ a < n} a&=\sum_{k=1}^{p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}}} p_{1}k\\
&= p_{1}\sum_{k=1}^{p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}}}k\\
&=p_{1}\frac{p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}}+1)}{2}\\
&= \frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}}+1)}{2}
\end{align} $$
به طور مشابه داریم :
$$\sum_{p_{2}|a,\ a < n} a= \frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}-1}+1)}{2}$$
و همچنین :
$$\sum_{p_{1}p_{2}|a,\ a < n} a= \frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}-1}+1)}{2}$$
حال با جاگذاری در $ \star $ داریم :
$$\sum_{(a,\ n)=1,\ a < n} a=\frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}+1)}{2}-\frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}}+1)}{2}$$
$$-\frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}-1}+1)}{2}+ \frac{p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}(p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}-1}+1)}{2}$$
$$=\frac{1}{2}(p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}})(p_{1}^{ \alpha _{1}-1}p_{2}^{ \alpha _{2}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1))$$
$$=\frac{1}{2}\ n\ \varphi (n)$$
حال می توان با استدلال مشابه ثابت کرد که اگر $n=p_{1}^{ \alpha _{1}}p_{2}^{ \alpha _{2}}...p_{r}^{ \alpha _{r}}$ که $ p_{1},p_{2},...,p_{r}$ اعداد اول متمایز هستند و $r$ عدد طبیعی است آنگاه حکم درست است .
