ثابت کنید $ \sum_{j=1}^n cos(jx)= \frac{sin( \frac{nx}{2}).cos( \frac{(n+1)x}{2}) }{sin( \frac{x}{2}) } $

Question

$ \sum_{j=1}^n cos(jx)= \frac{sin( \frac{nx}{2}).cos( \frac{(n+1)x}{2}) }{sin( \frac{x}{2}) } $

,$x \neq 2k \pi , k \epsilon Z$

Answer 1

می دانیم که برای $z\neq 1$

$$1+z+z^2+\cdots +z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$$

چنانچه قرار دهیم $z=e^{ix}$ خواهیم داشت:

$$1+e^{ix}+e^{i2x}+\cdots+e^{inx}=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}$$

اما با توجه به $e^{ix}=\cos x+i\sin x$داریم:

$(1+\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)+i(\sin x+\sin 2x+\cdots \sin nx)\\ =\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{(1-\cos (n+1)x)-i\sin(n+1)x}{(1-\cos x)-i\sin x}\times \frac{(1-\cos x)+i\sin x}{(1-\cos x)+i\sin x}\\ =\frac{(1-\cos(n+1)x)(1-\cos x)+\sin(n+1)x\sin x+i((1-\cos(n+1)x)\sin x-\sin(n+1)x(1-\cos x))}{(1-\cos x)^2+\sin ^2x}$

پس با توجه به قسمت موهومی و حقیقی داریم: $$\sum_0^n\cos jx=\frac{1-\cos(n+1)x-\cos x+\cos(n+1)x\cos x+\sin(n+1)x\sin x}{1-2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}\\ =\frac{1-\cos(n+1)x-\cos x+\cos((n+1)x-x)}{2(1-\cos x)}\\ =\frac{(1-\cos x)+\cos (nx)-\cos(n+1)x}{2(1-\cos x)}\\ =\frac 12+\frac{-2\sin\frac{(2n+1)x}2\sin\frac{-x}2}{2\sin^2\frac{x}2}$$

و لذا

$$\sum_1^n\cos jx=-\frac 12+\frac{\sin\frac{(2n+1)x}2}{\sin\frac x2}\\ =\frac{-\sin\frac x2+\sin\frac{(2n+1)x}2}{2\sin\frac x2}=\frac{2\sin\frac {nx}2\cos\frac{(n+1)x}2}{2\sin\frac x2}$$

Comments

ولی این که شما نوشتین برای $j$ از $0$ تا $n$ هستش

---

بله ولی در آخر اون 1رو به سمت راست انتقال دادم. و اگه توجه کنید از یک شروع شده

---

بله حق با شماست.سپاسگزارم

Answer 2

برای هر $j \in Z $ دلخواه داریم: $$2sin( \frac{x}{2} )cos(jx)=sin(j+ \frac{1}{2} )x-sin(j- \frac{1}{2} ) x $$ اگر از طرفین سیگما بگیریم طرف راست سری تلسکوپی خواهد بود لذا خواهیم داشت:

$$ \sum_{j=1}^n 2sin( \frac{x}{2} )cos(jx)=\sum_{j=1}^n sin(j+ \frac{1}{2} )x-sin(j- \frac{1}{2} ) x=$$ $$sin(n+ \frac{1}{2} )x-sin \frac{x}{2} $$

پس خواهیم داشت: $$ \sum_{j=1}^n cos(jx)= \frac{sin(n+ \frac{1}{2} )x-sin \frac{x}{2}}{2sin( \frac{x}{2} )} $$

اما از طرف دیگر $\frac{1}{2}( sin(n+ \frac{1}{2} )x-sin \frac{x}{2})=sin \frac{x}{2}.cos \frac{(n+1)x}{2} $

که با جایگذاری حکم نتیجه می شود.

Comments

راه حل بسیار زیبایی هست جناب منوچهری ولی از اعداد مختلط استفاده نشده

---

ممنون
 در سوال اشاره ای نشده که از اعداد مختلط باید استفاده کنیم.