می دانیم که برای $z\neq 1$
$$1+z+z^2+\cdots +z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$$
چنانچه قرار دهیم $z=e^{ix}$ خواهیم داشت:
$$1+e^{ix}+e^{i2x}+\cdots+e^{inx}=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}$$
اما با توجه به $e^{ix}=\cos x+i\sin x$داریم:
$(1+\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)+i(\sin x+\sin 2x+\cdots \sin nx)\\
=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{(1-\cos (n+1)x)-i\sin(n+1)x}{(1-\cos x)-i\sin x}\times \frac{(1-\cos x)+i\sin x}{(1-\cos x)+i\sin x}\\
=\frac{(1-\cos(n+1)x)(1-\cos x)+\sin(n+1)x\sin x+i((1-\cos(n+1)x)\sin x-\sin(n+1)x(1-\cos x))}{(1-\cos x)^2+\sin ^2x}$
پس با توجه به قسمت موهومی و حقیقی داریم:
$$\sum_0^n\cos jx=\frac{1-\cos(n+1)x-\cos x+\cos(n+1)x\cos x+\sin(n+1)x\sin x}{1-2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}\\
=\frac{1-\cos(n+1)x-\cos x+\cos((n+1)x-x)}{2(1-\cos x)}\\
=\frac{(1-\cos x)+\cos (nx)-\cos(n+1)x}{2(1-\cos x)}\\
=\frac 12+\frac{-2\sin\frac{(2n+1)x}2\sin\frac{-x}2}{2\sin^2\frac{x}2}$$
و لذا
$$\sum_1^n\cos jx=-\frac 12+\frac{\sin\frac{(2n+1)x}2}{\sin\frac x2}\\
=\frac{-\sin\frac x2+\sin\frac{(2n+1)x}2}{2\sin\frac x2}=\frac{2\sin\frac {nx}2\cos\frac{(n+1)x}2}{2\sin\frac x2}$$
