آیا رابطه زیر قابل اثبات است؟ اگر $p$ عددی اول و $n \leq p$ و $k$ تعداد جمله های $(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_{n})^p$، آنگاه $p|k-1$

Question

با درود به همراهان گرامی. آیا رابطه زیر قابل اثبات است؟ اگر $p$ عددی اول و $n \leq p$ و $k$ تعداد جمله‌های $$(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_{n})^p$$

باشد، آنگاه

$$p|k-1$$

بعبارت بهتر و بزبان همنهشتی

$$k\overset{p}{\mathop{\equiv}}\,1$$

برای سهولت کار مقدار $k$ با فرمول زیر بدست می‌آید.

$$k= \frac{(p+n-1)!}{p!(n-1)!} $$

این سؤال مرجعی ندارد و با مشاهده شخصی بدست آمده. جالب است که فقط با اعداد اول $p$ تمام مقادیر $n$ در این رابطه صدق میکنه. بنظر میاد بسط $n$ جمله‌ایها اسرار زیادی در خود پنهان دارند. با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Answer 1

قضیه لوکاس $Lucas$ به ما می گوید که اگر $m$ و $s$ اعداد طبیعی باشند و $p$ عددی اول و:

$$ m=m_tp^t+m_{t-1}p^{t-1}+...+m_1p+m_0 $$

$$ ,s=s_tp^t+s_{t-1}p^{t-1}+...+s_1p+s_0 $$

آنگاه داریم:

$$ \binom{m}{s} \equiv \binom{m_t}{s_t} ... \binom{m_1}{s_1} \binom{m_0}{s_0} (modp)$$

طبق تعریف در اینجا اگر $s>m$ آنگاه $ \binom{m}{s} =0$.

حالا در این مسأله داریم:

$$k= \binom{p+n-1}{p} $$

پس می توان نوشت:

$$m=p+n-1=1^1p^1+(n-1)?,s=p=1^1p+0$$

$$ \Rightarrow k= \binom{p+n-1}{p} \equiv \binom{1}{1} \binom{n-1}{0} (modp) \equiv 1(modp)$$

$\Box $

می مونه اثبات قضیۀ لوکاس که در اکثر سایتها یا کتابهای نظریه اعداد هست.

Comments

با درود بر استاد گرامی. بسیار عالی. آیا الگویی برای ضرایب بسط $n$ جمله ای وجود داره که سطر بعدی آن مانند مثلث خیام پاسکال قابل پیش بینی باشه؟ بنظرم نکات زیادی در این باره سربه مُهر باقی مونده.

---

سلام.
فکر کنم قبلن هم به صورت سوال مطرح کردید.من خیلی گشتم چیزی نیافتم.

---

@قاسم شبرنگ : درود بر استاد عزیز. آیا اصلاً وجود چنین الگویی برای ضرایب بسط $n$ جمله ای اهمیتی داره؟

---

به هر چیزی در ریاضیات فکر کنی اهمیت دارد.
مثلن صفرهای تابع زتای (اویلر ریمان) با طرح مثله بازل شروع شد و مدتی زیادیست ذهن تمام ریاضیدانان را درگیر کرده.یا حدس فرما با تعمیم قضیه فیثاغورث شروع شد.
در اینجا من فکر کنم باید به شکلی $n$ بعدی فکر کرد.همچنان که برای دو بعدییعنی اتحاددو جمله ای شکلی دو بعدی که مثلثت خیام پاسکال است.

---

@قاسم شبرنگ : تابع زتای ریمان اگر حل بشه، راز سربه مهر اعداد اول برملا میشه ولی دردسر بزرگی برای سیستمهای امنیتی مثل کارتهای بانکی و اقتصادی و نظامی و ... ایجاد میکنه. چون همه رمزنگاریهای فوق با اعداد اول شکل گرفته. مکاتبه با شما برایم خرسند کننده است. پیروز و پاینده باشید.