Question

ثابت کنید که اگر $1+2^n+4^n$ عددی اول باشد، آنگاه عددی صحیح مانند $k$ وجود دارد به‌طوری که $n=3^k$.

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Answer 1

جواب کامل نیست ولی شاید کمکتون کنه . (اگر به جای $3^k$ , $3k$ باشه جواب درسته)

اگر $1+2^n+4^n=p$ باشد میتوان نوشت : $(2^n-2)(2^n+3)=p-7$

اگر $n=1$ باشد پس برابر $3^0$ است پس حکم برقرار است در غیر این صورت باقیمانده تقسیم $2^n$ بر $7$ یکی از اعداد $2,4,1$ خواهد بود . اگر دو یا چهار باشد سمت چپ تساوی بر 7 بخشپذیر است پس سمت راست نیز بر 7 بخش پذیر است . که خلاف اول بودن $p$ است (چون $n>1$ پس $p>7$)

پس باقی مانده $2^n$ بر 7 برابر 1 است . که نتیجه میشود $2^n=8^x$ پس $n=3y$ که $y$ عدد طبیعی است .

Comments

ببخشید ایا این جور سوالات ایده ی کلی دارن؟

---

معولا باید ثابت کرد اگر خلاف گفته مسئله باشه $p$ بر عددی بخش پذیره و اول نیست .
من همیشه اول ، چند عدد به جای $n$ میذارم و جوابشو بدست میارم . اگه جواب عدد اول نبود عددی که بر اون بخشپذیره رو بدست میارم . معمولا باقی اون هایی هم که عدد اول نیستند بر همون بخشپذیرند .

Answer 2

بعد از تجزیه به عاملهای اول هر عدد طبیعی $n$ را می توان به صورت $n= 3^{k} m$ نوشت که در آن $k \succeq 0$ و $m$ مضرب نیست.در واقع $k$ بزرگترین عدد حسابی با این خاصیت است.

حالا به اتحاد زیر توجه کنید:

$ 4^{n} + 2^{n} +1= 2^{2n} + 2^{n} +1= 2^{ 2^{k} (2m)} + 2^{ 2^{k} m} +1$

$=(2^{2 \times 3^{k} } + 2^{ 3^{k} } +1)( 2^{ 3^{k} (2m-2)}- 2^{ 3^{k} (2m-3)}+2^{3^k(2m-5)}...- 2^{ 3^{k}(2m-(2m-1)) } +1)$

(توجه شود که در پرانتز سمت راست اتحاد ضریب $ 3^{k} $ جمله اول و آخر مشخصه و برای بقیه جملات به صورت:

$2m-3 , 2m-5 , ... ,2m-(2m-1)$

است که دنباله $m-1$ جمله دارد.پس کل پرانتز $m+1$ جمله دارد).

حالا بنابه فرض گزاره چون $ 4^{n} + 2^{n} +1$ اول است پس باید یکی از پرانتزها $1$ باشد.چون $2^{2 \times 3^{k} } + 2^{ 3^{k} } +1 \succ 1$ پس پرانتز دوم باید $1$ بشد:

$ 2^{ 3^{k} (2m-2)}- 2^{ 3^{k} (2m-4)}+...- 2^{ 3^{k} } +1=1 \Rightarrow 2m-2=0 \Rightarrow m=1 \Rightarrow n= 3^{k}$

در واقع پرانتز دوم فقط یک جمله دارد و آن هم $1$ است.

$ \Box $