همنهشتی $10^n\overset{2^n}{\equiv}0$ چگونه قابل اثبات است؟

Question

با درود به همۀ دوستان و اساتید. کمابیش همه می‌دانیم که در هم‌نهشتی زیر:

$$a\overset{m}{\equiv}b$$

اعمال جبری مانند به توان رساندن و $+$ و $-$ و $×$ بر روی $a$ و $b$ با شرط ثابت بودن $m$ مجاز است و عمل تقسیم بر روی $a$ و $b$ درصورتی مجاز است که: $(a,m)=1$ و $(b,m)=1$. ولی در هم‌نهشتی زیر، پیمانۀ $m$ متغیر است.

$$10^n\overset{2^n}{\equiv}0$$

سؤال این است که با پیمانۀ متغیر، هم‌نهشتی فوق چگونه قابل اثبات است؟ با سپاس پیشاپیش از دوستان و اساتید گرامی.

Comments

@ناصرـآهنگرپور مگر هر ۱۰ یک شمارندهٔ ۲ ندارد؟ پس ۱۰ به توان $n$ نیز دارای شمارندهٔ $2^n$ خواهد بود. زمانی که یک عدد را بر یک شمارنده‌اش تقسیم می‌کنید، باقیمانده چند می‌شود؟ صفر. پس همنهشتی‌تان بدیهی است. $10^n\overset{2^n}{\equiv}0$.

---

@AmirHosein برای قواعد بخشپذیری نیاز به اثبات این همنهشتی داشتم. ممنون از دوست و استاد گرامی.

Answer 1

توجه کنید که

$$a\overset{m}{\equiv}b\Longleftrightarrow m\mid(a-b)$$

پس حکم شما که $\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;10^n\overset{2^n}{\equiv}0$ است یعنی $\forall n\in\mathbb{N}\;\colon 2^n\mid 10^n$. اکنون توجه کنید که $10^n=(10)^n=(2\times 5)^n=2^n\times 5^n$ پس $2^n$ عدد $10^n$ را می‌شمارد و این مستقل از انتخاب عدد طبیعیِ $n$ است، یعنی برای هر $n$-ِ طبیعی‌ای برقرار است. پس حکم ثابت شد.

اما به عنوان یک نکتهٔ دیگر با استفاده از تعریف همنهشتی که در بالا دادیم می‌توانید به سادگی ثابت کنید که اگر ب.م.م.-ِ سه عدد $a$ و $b$ و $m$ برابر با $d$ باشد آنگاه از $a\overset{m}{\equiv}b$ می‌توان به صورت به دو طرفه نتیجه گرفت که $(\frac{a}{d})\overset{(\frac{m}{d})}{\equiv}(\frac{b}{d})$ که در پرسش شما ب.م.م. سه عددِ $10^n$ و $0$ و $2^n$ برابر با $2^n$ است که با نکتهٔ بالا به شما $5^n\overset{1}{\equiv}0$ را می‌دهد که به طور بدیهی برقرار است و چون نتیجه‌گیری‌ها دوطرفه بودند پس یک اثبات بازگشتی برای رابطهٔ اولیه می‌شود.

Comments

@AmirHosein : ممنون از استاد عزیز. بسیار عالی بود.