کوچکترین عدد طبیعی که وقتی رقم سمت چپ ان را به سمت راست انتقال میدهیم عدد حاصل سه برابر شود.

Question

عدد n کوچکترین عدد طبیعی است که وقتی رقم سمت چپ ان را به سمت راست انتقال می دهیم عدد حاصل سه برابر می شود. n چند است.(بنده این سوال را از طریق بسط اعداد حل کردم اما به نتیجه ای نرسیدم)

Answer 1

عدد مورد نظر را $k+1$ رقمی با رقم سمت چپ $a$ در نظر بگیریم در اینصورت عدد مورد نظر به صورت $$n=ax=a\times 10^k+x$$

خواهد بود و بنابر فرض مساله داریم $$ 3(ax)=xa $$

یعنی $$3(a\times 10^k+x)=10x+a$$

که از اینجا هم داریم $$7x=(3\times 10^k-1)a$$

در اینصورت یا باید $a=7$ یا $3\times 10^k-1$ بر $7$ بخش پذیر باشد.

اما $a=7$ نمی تواند درست باشد چون وقتی $a=7$ آنگاه $x=2 \underbrace{9...9}_{k-times}$ لذا $n=72\underbrace{9...9}_{k-times}$ وقتی عدد $7$ را به راست منتقل کنید عدد کوچکتر می شود(در حالیکه می بایست عدد 3برابر میشد)

پس باید $3\times 10^k-1=2 \underbrace{9...9}_{k-times}$ بر $ 7 $ بخشپذیر باشد. ما باید دنبال کمترین تعداد ارقام $9$ باشیم. اگر عمل تقسیم $ 2 \underbrace{9...9}$ بر $7$ رو انجام بدید تا جایی که اولین باقیمانده صفر شد در اینصورت کمترین رقم را یافته ایم و خارج قسمت برابر $x=42857$ خواهد بود. برای اینکه بدانیم $n=ax=a42857$ چه عددی است باید $a=1,2,3$ را امتحان کنید(چون قرار است وقتی $a$ را به راست انتقال دادید عدد بزرگتر شود) اما اگر قرار دهید $a=1$ شرایط مساله برقرار خواهند شد یعنی $$n=142857$$