ثابت کنید معادله $2(a+b+c)=abc$ تنها سه جواب فاقد جایگشت در اعداد طبیعی دارد.

Question

با درود به همراهان گرامی. ثابت کنید معادله

$2(a+b+c)=abc$

تنها سه جواب فاقد جایگشت در اعداد طبیعی دارد و آنها را بیابید. تساوی متغیرها در صورت صدق در معادله امکانپذیر است. از توجه همراهان سپاسگزارم

Comments

با سلام

با توجه به صورت سوال، حتما یکی از اعداد بر 2 بخش پذیر هست. فرض کنیم:

$a=2k \Longrightarrow 2(2k+b+c)=2kbc \Longrightarrow 2k+b+c=kbc \Rightarrow b+c=k(bc-2)$
اگر $k$ عددی بیشتر یا مساوی دو باشد، قطعا صرف راست از صرف چپ بزرگتر می شود. بنابراین:

$k=1 \Rightarrow bc-2=b+c \Rightarrow bc-b-c=2 \Rightarrow (1-b)(1-c)=3$

که معادله اخیر در اعداد طبیعی دارای یک دسته جواب با جایگشت است. به عنوان مثال:

$(b,c)=(2,4)$

با در نظر گیری $k=1$، کلیت جواب ها به صورت
$(2,2,4)$
خواهد بود که در نهایت
$\displaystyle \frac{3!}{2!}=3$
جواب خواهیم داشت.

---

@Vahidi fard: بادرود به همراه گرامی. بسیار عالی. با درنظر گرفتن فرضی درست، یکی از جوابهای غیرتکراری (بدون جایگشت) را بدست آوردید. اگر دو جواب دیگر (بدون جایگشت) را بگونه مستدل بدست آورید، میتوانید بعنوان پاسخ بنویسید و بعنوان بهترین جواب برمی‌گزینم. ۱+

Answer 1

مطابق استدلالی که شد، داریم:

$\displaystyle k=\frac{b+c}{bc-2}$

ابتدا نشان میدهیم که $b,c$ نمی‌توانند همزمان از 3 بیشتر باشند. زیرا در این صورت مقدار $\displaystyle \frac{b+c}{bc-2}$ از یک کوچکتر خواهد شد. اثبات:

$\displaystyle \frac{b+c}{bc-2} < 1 \Leftrightarrow b+c<bc-2 \Leftrightarrow 3<(1-b)(1-c)$

بنابراین، $b$ و $c$ اعدادی طبیعی و نابیشتر از 3 هستند. با آزمون و خطا برای به دست آمدن $k$ی طبیعی به ازای مقادیر مختلف برای b,c، حالت های زیر به دست می آید:

$(a,b,c)=(8,3,1)or(2,2,4)$

متاسفانه جواب دیگری رو پیدا نکردم.

Comments

@Vahidi fard : تلاشتون قابل تقدیره. پاسخم را مینویسم. امیدوارم سودمند باشه. ۱+

---

سلامت باشید
ممنونم

Answer 2

برای حل این‌گونه معادلات، یک راهکار مؤثر این است که بین متغیرها یک ترتیب فرض کنیم. این کار به ما کمک می‌کند تا دامنه جستجو را به شدت محدود کنیم.

گام اول: فرض ترتیب بین متغیرها

بدون از دست دادن کلیت مسئله، فرض می‌کنیم که $a, b, c$ به ترتیب صعودی مرتب شده‌اند: $$a \le b \le c$$

گام دوم: استفاده از نابرابری برای محدود کردن متغیرها

با توجه به فرض بالا، می‌توانیم بنویسیم: $$a+b+c \le c+c+c = 3c$$

حالا این نابرابری را در معادله‌ی اصلی جایگزین می‌کنیم: $$abc = 2(a+b+c) \le 2(3c)$$ $$abc \le 6c$$

چون $c$ یک عدد طبیعی و مثبت است ($c \ge 1$)، می‌توانیم دو طرف نابرابری را بر $c$ تقسیم کنیم: $$ab \le 6$$

حالا می‌دانیم که حاصل‌ضرب دو متغیر کوچکتر ($a$ و $b$) نمی‌تواند از $6$ بزرگتر باشد. همچنین چون $a \le b$ است، نتیجه می‌گیریم: $$a^2 \le ab \le 6$$ این نابرابری به ما می‌گوید که $a^2$ باید کوچکتر یا مساوی $6$ باشد. تنها اعداد طبیعی که مربعشان کوچکتر یا مساوی $6$ است، $1$ و $2$ هستند. بنابراین، متغیر $a$ فقط می‌تواند یکی از دو مقدار زیر را داشته باشد: ۱. $a = 1$ ۲. $a = 2$

گام سوم: بررسی حالت‌های ممکن برای $a$

حالا هر یک از این دو حالت را جداگانه بررسی می‌کنیم.

حالت ۱: $a = 1$

مقدار $a=1$ را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم: $$2(1+b+c) = 1 \cdot b \cdot c$$ $$2+2b+2c = bc$$ برای حل این معادله نسبت به $b$ و $c$، آن را به روش زیر بازآرایی می‌کنیم تا قابل تجزیه شود (این یک ترفند رایج است): $$bc - 2b - 2c = 2$$ $$bc - 2b - 2c + 4 = 2 + 4$$ $$(b-2)(c-2) = 6$$ حالا باید جفت عامل‌های عدد $6$ را پیدا کنیم. با توجه به فرض $a \le b \le c$ و اینکه $a=1$ است، داریم $1 \le b \le c$ که نتیجه می‌دهد $b-2 \le c-2$. پس دو حالت ممکن برای عامل‌ها وجود دارد:

• جفت (۱, ۶): $b-2=1 \implies b=3$ $c-2=6 \implies c=8$ این مقادیر در شرط $1 \le 3 \le 8$ صدق می‌کنند. پس اولین جواب ما به دست آمد: $\bf(1, 3, 8)$.

• جفت (۲, ۳): $b-2=2 \implies b=4$ $c-2=3 \implies c=5$ این مقادیر در شرط $1 \le 4 \le 5$ صدق می‌کنند. پس دومین جواب ما به دست آمد: $\bf(1, 4, 5)$.

حالت ۲: $a = 2$

مقدار $a=2$ را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم: $$2(2+b+c) = 2bc$$ دو طرف را بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $$2+b+c = bc$$ دوباره معادله را برای تجزیه بازآرایی می‌کنیم: $$bc - b - c = 2$$ $$bc - b - c + 1 = 2 + 1$$ $$(b-1)(c-1) = 3$$ عدد $3$ یک عدد اول است و تنها یک جفت عامل طبیعی دارد: (۱, ۳). با توجه به فرض $a \le b \le c$ و اینکه $a=2$ است، باید $2 \le b \le c$ باشد. پس $b-1 \le c-1$ است.

• جفت (۱, ۳): $b-1=1 \implies b=2$ $c-1=3 \implies c=4$ این مقادیر در شرط $2 \le 2 \le 4$ صدق می‌کنند. پس سومین جواب ما به دست آمد: $\bf(2, 2, 4)$.

نتیجه‌گیری:

با بررسی تمام حالت‌های ممکن، به سه مجموعه جواب منحصر به فرد (فاقد جایگشت) رسیدیم: 1. $\{1, 3, 8\}$ 2. $\{1, 4, 5\}$ 3. $\{2, 2, 4\}$

این‌ها تنها جواب‌های ممکن در اعداد طبیعی هستند. اگر جایگشت‌ها را هم در نظر بگیریم، تعداد کل جواب‌ها بیشتر می‌شود (برای مثال $(1,3,8), (1,8,3), (3,1,8)$ و غیره هم جواب هستند)، اما مسئله به درستی اشاره کرده که تنها سه جواب فاقد جایگشت وجود دارد.

Answer 3

با درود به همراهان گرامی. یک راه‌حل ساده:

$$1)\quad 2(a+b+c)=abc$$

بدون اینکه به کلیت مسئله خللی وارد شود، فرض می‌کنیم $a \leq b \leq c$. چون سرعت رشد $abc$ زیاد است، حال میتوانیم کران بالای $a$ را محاسبه کنیم.

$$2(2+2+2)>2×2×2$$

وجود جواب ممکن است. ولی

$$2(3+3+3)<3×3×3$$

وجود جواب ناممکن است. پس باید $a<3$ باشد.

حالت اول: $a=1$:

$$2(1+b+c)=bc \Longrightarrow bc-2b-2c=2$$

به دوطرف $4$ واحد اضافه میکنیم و سمت چپ را تجزیه میکنیم. داریم:

$$(b-2)(c-2)=6$$

مقادیر ممکن:

$$b,c=(3,8)\quad b,c=(4,5)$$

در هردو حالت $a=1$ بدست می‌آید.

حالت دوم: $a=2$

$$2(2+b+c)=2bc \Longrightarrow bc-b-c=2$$

به دو طرف $1$ واحد اضافه میکنیم و سمت چپ را تجزیه میکنیم. داریم: $$(b-1)(c-1)=3$$ تنها جواب ممکن $b,c=(2,4)$ می‌باشد. و بناچار $a=2$ خواهد بود.

جمع‌بندی: تنها جوابهای ممکن:

$$a,b,c=[1,3,8],[1,4,5],[2,2,4]$$