آیا در میدان اعداد طبیعی تفاضل دو مکعب میتواند مربع کامل باشد؟ $a^3-b^3=c^2$

Question

با درود به دوستان و استادان گرامی. آیا در میدان اعداد طبیعی تفاضل دو مکعب میتواند مربع کامل باشد؟

$a^3-b^3=c^2$

این سؤال از ذهنیت بنده است و مرجعی ندارد. چون مثال نمونه نیافتم پرسش کردم. wolfram alpha تحت اندروید جوابهای بیمایه میدهد که یکی از پارامترها را صفر منظور میکند. با سپاس از توجه ارزشمند همراهان.

Answer 1

نشان می دهم که بینهایت جواب داره

با فرض a=nb داریم $$A=a^3 - b^3 =(n^3 - 1)b^3 $$ حال کافی است $$b=n^3 - 1 \Rightarrow A=(n^3 - 1)^4 $$ در نتیجه برای هر n و m طبیعی معادله اصلی دارای جوابی به صورت زیر می باشه $$a =n(n^3 - 1)m^2 \\b =(n^3 - 1) m^2 \\c=(n^3 - 1)^2 m^3 $$

Comments

@amir7788: با درود به همراه خوب همیشگی. پاسختان صحیح است و از بابت صرف هزینه از وقت گرانبهایتان بینهایت سپاسگزارم. منتظر پاسخهای دیگر خواهم ماند. 1+

---

@amir7788 : فقط یک سؤال پیش میاد. گویا پاسخ شما عامل مشترک دارد. آیا با $(a,b)=1$ هم جوابی برای این سؤال هست؟

---

@ناصر آهنگرپور
برای حالتی که a و b نسبت بهم اول باشند معادله در N جواب نداره.

---

@amir7788 : با درود به استاد گرامی. آیا اثباتی برای گزاره اخیرتان موجود است. اگر در اختیار دارید، از راهنماییتان بسیار ممنون میشم. تندرست و پیروز باشید.

---

@amir7788 : با درود بر دوست و استاد گرامی. راه حلی بنظرم رسیده که امیدوارم با همکاری بتوانیم به نتیجه خوبی برسانیم.
$(a^2)^3-(b^2)^3=(a^2-b^2)×((a^2+b^2)^2-(ab)^2)$
بنظر شما پرانتزهای سمت راست را که هر دو تفاضل مربعات هستند، میتوان همزمان به مربع کامل تبدیل کرد؟ یا اینکه دو طرف را بتوان دو برسانیم و سمت چپ را به تفاضل دو مکعب تبدیل کنیم؟ اگر بتوانیم این کار را انجام دهیم، راه حل کلی را بدست آورده ایم. پرانتز اول همان قضیه فیثاغورث است. پرانتز دوم کمی کار می برد. ضمناً اتحاد زیر نیز شاید بدرد بخورد.
$(a^2)^3-(b^2)^3=(a^3+2ab^2)^2-(2a^2b+b^3)^2$
 همکاری دوستان دیگر هم میتواند مفید باشد.

---

@amir7788 : با درود مجدد به دوست و استاد عزیز: مواردی را بکمک کدنویسی یافته ام که در آن $(a,b,c)$ دوبدو نسبت بهم اول هستند.
$8^3-7^3=13^2$
$71^3-23^3=588^2$
$74^3-47^3=549^2$
$105^3-104^3=181^2$
امیدوارم بیاری هم بتوانیم راه حل کلی را بدست آوریم. تندرست و سرافراز باشید.

---

@ناصرآهنگرپور بسیار عالی، جواب کلی بدست آوردن  احتمالا ساده نیست سعی می کنم یه د سته  جوابش پیدا کنم.

Answer 2

@amir7788 :

با درود بر دوست و استاد بزرگوار. بنظر میاد جواب بسیار ساده و در دسترس است. اگر به پاسخ مندرج در اینجا توسط بنده توجه کنیم و در یکی از پرانتزهای مکعب دارای علامتهای متغیر از $(-1)$ فاکتور بگیریم، جواب این سؤال بدست می‌آید. اگر این کار بروی پرانتزی که علامت منفی جملات با توان و ضریب بزرگتری دارد صورت گیرد، نتیجه بهتری دارد. زیرا احتمال منفی شدن آن کمتر میشود. یعنی:

$(1:)\quad(s^4+8st^3)^3-(4s^3t-4t^4)^3=(s^6-20s^3t^3-8t^6)^2$

---

$(2:)\quad(2(s^4+2ts^3+2t^3s+t^4))^3-(4ts^3+6t^2s^2+4t^3s-t^4-s^4)^3=(3(s-t)(s+t)(s^4+2s^3t+6s^2t^2+2st^3+t^4))^2$

---

$(3:)\quad(3s^4+6t^2s^2-t^4)^3-(3s^4-6t^2s^2-t^4)^3=(6st(3s^4+t^4))^2$

طبیعی است اگر پرانتزی از مکعبها منفی شود، با تعویض مقادیر $s,t$ میتوان آنرا مثبت کرد. اگر پرانتز سمت راست معادلات فوق منفی شود، با توجه به زوج بودن توان اهمیتی ندارد. همراهی خوب و همیشگی شما قابل تقدیر است.