شرط تجزیه پذیری حاصلِ $a^2+b^2$ زمانی که $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند، در میدان اعداد طبیعی چیست؟

Question

با درود به دوستان و اساتید گرامی. همانطور که میدانیم، بطریق متعارف عبارت جبری $a^2+b^2$ تجزیه ناپذیر است ولی مجموع دو مربع در میدان اعداد طبیعی ممکن است تجزیه پذیر باشد. مانند $8^2+1^2=5×13$. شرط تجزیه پذیری عبارت جبری مذکور در میدان اعداد طبیعی چیست؟ با سپاس پیشین از توجه دوستان.

Comments

@Elyas1 : بسیار عالی. این یعنی اعداد اول بشکل $4n-1$ را هم نمیتوان بشکل $a^2+1$ نمایش داد. اگر تکلیف اعداد اول بشکل $4n+1$ هم مشخص شود، میتوان این موضوع را در سؤال یا بلاگ جدیدی بررسی کرد. البته پیداست که $n$ باید مربع کامل باشد تا اعداد اول بشکل $4n+1$ بشکل $a^2+1$ نمایشپذیر باشد. چون این پیشنهاد از طرف آقای @amir7788 بوده، میتوانند در این باره اقدام کنند. با دیدگاه مناسب آقای @Elyas1 جواب در دسترس است.

---

@ناصر آهنگرپور. شما محبت دارید با اجازه شما حالت خاص سوال را در پست جداگانه قرار می دهم

---

@Elyas1 عدد فرد  به جای aقرار دهید مطمئنا حاصل $ a^2 +1$زوج می شود در واقع باید برای A زوج بحث کنید.

---

@amir7788 : فکر میکنم طرح جدید سؤال حالت خاصی از طرح همین سؤال است. زیرا در $a^2+1$ عدد $1$ مربع کامل است. به همین دلیل با همین روش درحالت کلی قابل حل است. البته برای $a$ نمیتوان شرایطی تعیین کرد که عبارت $a^2+1$ فقط عدد اول تولید کند. زیرا هیچ عبارت جبری تک مجهولی نمیتواند فقط عدد اول تولید کند ولی در حالت کلی میتوان با روش مطروحه در اینجا برای تجزیه پذیر بودن یا نبودن آن شرایطی تعیین کرد.

---

@amir7788 من فکر کردم سوال شما این است
«برای کدام $a$ از اعداد طبیعی حاصل $a^2+1$ اول است.»
برای همین گفتم که اعداد اول به شکل $4k+3$ را نمی توان به شکل $a^2+1$ نوشت. پس باید روی اعداد اول به شکل $4k+1$ بحث کنیم.

Answer 1

با درود مجدد به همه همراهان گرامی. گاهی مسئله بقدری ساده است که از شدت سادگی انسان به روشهای سخت روی می‌آورد. برای همین مجبور شدم جوابم را اصلاح کنم. اگر به عبارت رادیکالی اتحاد زیر بدقت بنگریم،

$(I)\quad a^2+b^2=(a- \sqrt{2ab} +b)(a+ \sqrt{2ab} +b)$

می بینیم که کافیست $b=y^2$ و $a=2x^2$ باشد تا مجموع دو مربع در میدان اعداد طبیعی تجزیه‌پذیر باشد. در اینصورت اتحاد $(I)$ بشکل زیر در می‌آید.

$(II)\quad (2x^2)^2+(y^2)^2=(2x^2- \sqrt{2×2x^2y^2}+y^2)(2x^2+ \sqrt{2×2x^2y^2}+y^2)$

و ساده شده آن بشکل زیر خواهد بود.

$(III)\quad4x^4+y^4=(2x^2-2xy+y^2)(2x^2+2xy+y^2)$

تنها شرط لازم این است که یکی از متغیرهای $(x,y)$ بزرگتر از $1$ باشد. نمیدانم چرا اتحاد زیبای $(III)$ در کتابهای دبیرستانی تدریس نمیشود؟!!

Comments

@ناصر آهنگرپور. اولا مفهوم گروه بندی متوجه نمی شوم. دوما چه فرقی بین و  pو q وجود دارد. سوما حداقل دو تا بزرگتر از صفر  است یعنی دوتا صفر نیست.  k=m=0 وn=1 و p=13 چه مشگلی دارد.

---

@amir7788 :
با درود و سپاس صمیمانه از توجه دوست و استاد گرامی. گروهبندی اعداد اول به این منظور است که مشخص شود چه نوع اعداد اول با چه شرایطی بصورت مجموع دو مربع نمایشپذیرند. فرق بین $p$ و $q$ نیز به روشنی توضیح داده شده که $p$ نماینده اعداد اول بشکل
$p=4n+1$
و $q$ نماینده اعداد اول بشکل
$q=4n-1$
است. چون سه گروه مذکور در پاسخ بنده شامل همه اعداد اول است، میتوان از آن برای جواب این سؤال بهره جست. شرط اینکه حداقل دو تا از توانهای
$k,n,m$
باید بزرگتر از صفر باشند، برای این است که بدنبال تجزیه پذیری مجموع دو مربع هستیم. اگر همه توانها صفر شوند، جواب $1$ میشود  که تجزیه پذیر نیست. مشکل جمله آخر دیدگاه محترمتان این است که حاصل $13$ میشود و برخلاف درخواست سؤال تجزیه ناپذیر است. اصل ثابت شده ای داریم که میگوید در ضرب دوبدو اعداد اول باید توانشان بزرگتر از $0$ باشد تا عددی تجزیه پذیر تولید کنند. با تشکر صمیمانه از همراهی دوستانه شما. زنده و پاینده باشید.

---

@ناصرآهنگرپور
سلام، ببخشید این شرط یکی مربع کامل و دیگری دو برابر مربع کاملی باشه شرط کلی نیست مثلا عدد 45 مجموع دو مربع کامل36 و 9 می باشه ولی بنظرم در شرطی که معرفی شد صدق نمی کنه

---

@amir7788 : با درود بر دوست و استاد گرامی: ممنون از همراهی ارزشمندتان. مثالی که آوردید نقصی دارد و اینکه $9$ بدرستی مربع کامل است ولی $36$ دوبرابر مربع کامل باید باشد که اینطور نیست.

---

@ناصر آهنگرپور
ببخشید شاید خوب بیان نکردم 45 مجموع دو مربع کامل است که قابل تجزیه است یعنی با انتخاب a=3 و b=6   اما a و b در شرایط جواب شما صدق نمی کنه.

---

@amir7788: با درود مجدد. شما $a,b$ را مستقیماً به اتحاد $I$ برده اید که تجزیه پذیر نیست. برای همین مثال شما صدق نمیکنه. اگر شرط مربوط به $a,b$ اجرا شود، در اتحاد $II$ صدق خواهد کرد. تنها شرط لازم اینه که یکی از متغیرها بزرگتر از $1$ باشد. شرط مذکور در پاسخ بنده لازم است ولی لازم و کافی نیست. یعنی مجموع هر دو مربع کامل را شامل نمیشود. در واقع پاسخ بنده میگوید مجموع دو مربع با پارامترهای $a,b$ باید به چه شکل باشد تا تجزیه پذیر شود و ادعا ندارد که هر مجموع دو مربع را میتوان بشکل فوق درآورد.

---

در این صورت حالت‌های زیادی وجود دارد مثلا حالت a=b و بزرگتر از یک.

---

@amir7788: اینکه حالتهای زیادی دارد، کاملاً درست است. اگر $a=b$ باشد، عامل مشترک خواهند داشت که بدون شک مجموع مربعاتشون تجزیه پذیر میشود. بنابراین باید $(a,b)=1$ باشد و شرایط تجزیه پذیری را در این حالت بدست بیاوریم. و البته چون $a=2x^2$ همیشه زوج است، بنابراین در $b=y^2$ پارامتر $y$ باید فرد بوده و $(x,y)=1$ باشد.

---

@amir7788 : با درود به همراه خوب همیشگی. در مورد مثالتان دقت نکردم. ولی در فرمول $(I)$ فوق صدق میکنه.
$(I)\quad 6^2+3^2=(6- \sqrt{2×6×3} +3)(6+ \sqrt{2×6×3} +3)=3×15$

Answer 2

• قضیه ای که در زیر اشاره شد شاید مفید برای حل مسئله باشه. اول فکر کردم جواب مسئله می باشه اما با تذکر دوستان متوجه شدم که جواب نیست اما جهت اطلاع دوستان حذفش نکردم

قضیه. عدد طبیعی n به صورت مجموع دو مربع کامل قابل نمایش است اگر و تنها اگر در تجزیه n به عوامل اول، هر عامل اول به صورت 4m+1 با نمای زوج باشد.

• اثبات این قضیه در صفحه 28 کتاب، کتاب اثبات ترجمه سیامک کاظمی چاب 1379 می باشه.

Comments

@amir7788 :

 با درود مجدد به دوست و استاد عزیز. امیدوارم دیدگاه بنده را دوستانه تلقی کنید. مشکلی در پاسختان مشاهده میشود که امیدوارم اشتباه چاپی باشد. اصل ثابت شده ای داریم که میگوید همه توانهای اعداد اول بشکل $4m+1$ و حاصلضربهایشان، بصورت مجموع دو مربع نمایشپذیرند. مثال :


$5^3=10^2+5^2$

$1625=13×5^3=40^2+5^2$

---

@amir7788 : نیت خوبتان در ایجاد محیطی آموزنده و صمیمی جای تقدیر و تشکر دارد.

---

@amir7788 و @Elyas1 :
 با درود مجدد. یک اتحاد کلی برای مجموع دو مربع داریم که بکمک آن میتوان برای $a,b$ شرایطی درجهت تجزیه پذیری دو مربع تهیه کرد. اتحاد زیر قابل بررسی است.

$(a- \sqrt{2ab}+b)( a+\sqrt{2ab}+b)=a^2+b^2$

این اتحاد میگوید اگر حاصلضرب $ab$ بشکل $2k^2$ باشد که در آن $k>1$ ، آنگاه مجموع دو مربع تجزیه پذیر است. میتوان $a$ را حاصلضرب مجذور کاملی در توان فردی از $2$ و $b$ را توان زوجی از عدد فرد در نظر گرفت. در واقع اگر

$a= 2^{2m+1}×n^{2s} $ , $b=(2k+1)^{2t}$

مجموع دو مربع همیشه تجزیه پذیر است. این ساده ترین جواب این مسئله است. امیدوارم سودمند واقع شود.

Answer 3

اگر a=b باشه واضح است

با توجه به اتحاد

$$\quad a^2+b^2=(a- \sqrt{2ab} +b)(a+ \sqrt{2ab} +b)$$

نتیجه می شه که زیر رادیکال باید مربع کامل باشه پس می توان برای a و b متمایز حالت‌های زیر متصور شد

$$(1) \begin{cases}a=1\\ b=2x^2 \end{cases} (2) \begin{cases}a=2\\b=x^2 \end{cases} (3)\begin{cases}a=x\\b=2x \end{cases} (4)\begin{cases}a=x^2 \\b=2y^2 \end{cases} $$ $$ (5)\begin{cases}a=2x^2 y\\b=y\end{cases} $$

همه این حالت‌های با کمی دقت متوجه می شوید که در حالت پنجم قرار دارند بنابراین برای هر x وy طبیعی

$$\begin{cases}a=2x^2 y\\b=y\end{cases} $$

اگر y بزرگتر از یک باشه به صورت زیر تجزیه می شود. $$a^2 +b^2 =4x^4y^2 +y^2 =y^2 (4x^4+1)$$

اگر y=1 باشه بصورت زیر تجزیه می شه

$$a^2 +b^2 =4x^4 +1=(2x^2 +2x+1)(2x^2 - 2x+1) $$

توجه کنید که a و b می توانند جا به جا شوند

Comments

@amir7788: با درود مجدد. از همفکریتان بینهایت ممنونم. در واقع شما عامل مشترک $y$ را در پارامترهای $a,b$ قرار داده‌ اید که بدون شک مجموع مربع آنها تجزیه پذیر میشود. باید دید بدون عامل مشترک چه شرطی لازم است. تندرست و سرافراز باشید.

---

@آهنگر
شما در سوالتان  «شرط تجزیه پذیری عبارت جبری مذکور در میدان اعداد طبیعی چیست؟» شرط تجزیه پذیری خواستید نظرم در پاسخ نوشتم

---

هر 5 حالت جواب می باشه که حالت 4 همان حالتی است که شما در نظر گرفتید حالت 5 به نظر می آید که حالت 4  را در بر داشته باشه اما این طور نمی باشه.... نیاز به بررسی بیشتر داره

---

@amir7788: با سپاس از همراهی ارزشمندتان. در حالت 1 داریم $a=1y^2$ که y را مساوی 1 منظور کرده اید. در حالت 2 داریم $a=2y^2$ که $y$ را 1 منظور کردید. حالت 3 و 5 چون عامل مشترک دارند حتماً تجزیه پذیرند. حالت 4 نیز معکوس پاسخ بنده است که باتوجه به همسانی توانها، تأثیری بر نتیجه نخواهد داشت. پاینده و سرافراز باشید.