دستگاه معادلات $x^2+x-1=y, y^2+y-1=z,z^2+z-1=x$ را حل کنید.

Question

دستگاه معادلات زی را حل کنید: $x^2+x-1=y$و $y^2+y-1=z$و $z^2+z-1=x$ تلاش من:دو طرف هر سه معادله را با هم جمع و ساده میکنیم و به دلیل تقارن فرض میکنیم x=y=z.

Answer 1

دستگاه معادلات را به صورت زیر می‌نویسیم : x(x+1) = y + 1 y(y+1) = z + 1 z(z+1) = x + 1 با ضرب معادلات داریم : xyz(x+1)(y+1)(z+1) = (x+1)(y+1)(z+1) پس xyz = 1

از طرفی با جمع معادلات داریم : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 پس طبق نامساوی حسابی هندسی : 3 = x^{2} + y^{2} + z^{2} \gg 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}} = 3 پس حالت تساوی حسابی هندسی رخ داده پس تمامی متغیر ها برابر هستند. یعنی x^{2} = y^{2} = z^{2} به راحتی نتیجه میشود که به ازای حداقل دو متغیر، مثل x و y داریم x=y. با جای‌گذاری داریم x برابر ۱ یا -۱ است. اگر x=y=1 در این صورت z=1 اگر x=y=-1 در این صورت z=-1 پس در کل جواب ها به این صورت است که همه متغیر ها برابر -۱ یا ۱ هستند.