حل دستگاه معادلات $x^2+y^2=4,z^2+t^2=9,xt+yz=6$

Question

جواب های دستگاه زیر را بیابید:

$x^2+y^2=4,z^2+t^2=9,xt+yz=6$

Answer 1

$(x^2+y^2)(z^2+t^2)=x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2=36$

,

$(xt+yz)^2=x^2t^2+y^2z^2+2xyzt=36$

,

$x^2z^2+y^2t^2-2xyzt=(xz-yt)^2=0$

,

$xz=yt$

,

$x^2z^2+y^2z^2=y^2t^2+y^2z^2=y^2(t^2+z^2)=9y^2=4z^2$

به همین صورت میتوان نوشت :

$4t^2=9x^2$

باتوجه به $x^2+y^2=4$ و $xt+yz=6$ میتوان فهمید $3y=2z$ و $2t=3x$ و $y= \pm \sqrt{4-x^2}$ پس جواب ها عبارت اند از :

$$(x,\pm \sqrt{4-x^2}, \frac{3}{2} \pm \sqrt{4-x^2}, \frac{3}{2} x)=(x,y,z,t)$$

که $-2 \leq x \leq 2$

Comments

ببخشید چرا عبارت $3y=-2z$ نمی تواند درست باشد؟چون در جذر گرفتن باید مثبت منفی بگذاریم؟

---

با برسی حالات میشه فهمید . مثلا اگه $3y=-2z$ و $2t=-3x$ اگه مقدار $t$ و $z$ رو در معادله $xt+yz=6$ جایگذاری کنیم نتیجه میشود $\frac{3}{2} (x^2+y^2)=6$- و چون $x^2+y^2=4$ این حالت رد میشود . اگر $3y=2z$ و $2t=-3x$ با جایگذاری نتیجه میشود $- \frac{3}{2} (x^2-y^2)=6$ و چون $x^2+y^2=4$ نتیجه میشود $x^2+y^2=y^2-x^2$ پس $x=0$ پس میتوان نوشت $3x=2t$ . حالت $3y=-2z$ و $3x=2t$ نیز به همین صورت .

Answer 2