برای شروع بیایید تمام محتوای برابری را به یک سمت ببرید تا در سمت دیگر صفر بماند. پس تعریف میکنیم
$$f=e^{-x}(-0.25x^4-x^2-2x-2)+0.02$$
در نتیجه برابریتان $f=0$ است. شما به دنبال ریشههای دقیق این برابری نیستید چون در پرسش همچین چیزی تأکید نشدهاست بعلاوه در یک بحث شیمی یا فیزیک به آن برخورد کردهاید که به احتمال خیلی زیاد پاسخها تا چند رقم اعشار برایتان کافی هستند. نه؟ و پیش از ورود به دانشگاه در ریاضی دبیرستان با روش نیوتن برای حل برابری آشنا شدهاید. نه؟ پس دستکم میتوانستید شروع به استفاده از آن کنید. در ریاضی عمومی کارشناسی نیز احتمالا دو سه روش آموزش دادهاند. و از همه چیز بهتر رجوع به یک کتاب آنالیز عددی مانند کتاب «آنالیز عددی ۱، نوشتهٔ اسماعیل بابلیان، انتشارات پیام نور» است. به هر حال برگردیم سراغ پرسش. برای شروع بررسی بیایید نخست مشتق تابع $f$ را نگاه کنیم که به ما پیرامون بالا و پائین رفتن مقدار تابع $f$ آگاهی میدهد.
\begin{align}
f' &= e^{-x}(-0.25x^4-x^2-2x-2)+e^{-x}(-x^3-2x-2)\\
&= \frac{1}{4}e^{-x}x^2(x-2)^2
\end{align}
که همواره مثبت است به غیر از دو نقطهٔ $x=0$ و $x=2$. پس یکنوای اکید است (صفر شدن مشتق در نقطههای منزوی یکنوای اکید بودن را بهم نمیزند). چون یکنوای اکید شد پس یا اصلا ریشه ندارد یا در صورت داشتن، یک ریشهٔ یکتا دارد. بیایید در شروع و پایان کار مقدار تابع را نگاه کنیم.
$$\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty,\;\lim_{x\to\infty}f(x)=0.02$$
که باید دلیلشان برایتان روشن باشد. پس مقدارِ تابع $f(x)$ از $-\infty$ شروه به افزایش میکند تا به $0.02$ که مقداری مثبت است برسد. چون پیوسته و افزایشیِ اکید است، حتما و دقیقا یک بار از صفر گذر خواهد کرد. کار الآن خیلی هم ساده شد، حتی بدون روشهای وتری و نیوتن-رافسون و غیره با یک دوبخشی بازیِ ساده میتوانید ریشه را تا هر چند تعداد رقم پس از اعشار تقریب بزنید. شروع کنید یک عدد دلخواه بدهید مانند $x=0$ دارید $f(0)=-1.98$ پس بازهٔ $[-\infty,0)$ را خیلی راحت به دور بیندازید. اکنون یک عدد دلخواه دیگر. مانند $x=10$، دارید $f(10)\simeq -0.099$ پس بازهٔ $(0,10]$ را نیز دور بیندازید. اکنون یک مقدار دلخواه دیگر از بازهٔ باقیمانده، مانند $x=100$، دارید $f(100)\simeq 0.02$ که مثبت است پس اکنون بازهٔ $[100,\infty)$ را دور بیندازید. بازهٔ باقیمانده برابر است با $(10,100)$. از اینجا به بعد میانهٔ بازه را بردارید و هر دفعه وابسته به اینکه علامت $f(x)$ چه میشود، بازهٔ نامناسب را حذف کنید. هر دفعه طول بازه نصف میشود و چون برای هر $\varepsilon >0$ عدد طبیعیِ $k$ای یافت میشود که $\frac{100-10}{2^k}<\varepsilon$ پس از تعداد متناهی گام ابتدا و انتهای بازهتان تا چند رقم اعشار که مورد نظرتان است یکسان خواهند شد. پس از تکرار این کار تا چند مرحله باید به تقریب پاسخ برسید. پاسخ پرسش تا هشت رقم پس از اعشار برابر است با $12.73004551$.
